Critères de divisibilité

I. Généralités
II. Divisibilité par 2
III. Divisibilité par 5
IV. Divisibilité par 3 et par 9
V. Divisibilité par 7
VI. Divisibilité par 11
VII. Divisibilité par 13
VIII. Divisibilité par 17
IX. Divisibilité par 19

Cet article a pour but de présenter des critères de divisibilité par les premiers nombres. Ces critères sont bien entendu démontrés, tout en essayant de faire ressortir les méthodes qui ont permis de les trouver. Pour des raisons évidentes, la plupart de ces critères concernent des nombres premiers (sauf le cas n = 9). Les résultats employés ici sont élémentaires et ne nécessitent pas de grandes connaissances sur la divisibilité (voir cours de divisibilité). En raison de leur caractère local, les démonstrations ne seront pas séparées des énoncés.

Les démonstrations seront faites dans N car un entier relatif a les mêmes diviseurs que sa valeur absolue qui, elle, appartient à N (voir démonstration).

I. Généralités

• Convention d'écriture
  

  Pour ne pas confondre un nombre avec son écriture dans sa décomposition en base 10, on notera le nombre pour lequel a₀ est le chiffre des unités, a₁ celui des dizaines, etc.
  On a ainsi = a₀.1 + a₁.10 + ... + a_n.10ⁿ

• Critère de divisibilité par un nombre composé

  Il faut tout d'abord noter que si a et b divisent un entier naturel N donné, il ne vient pas automatiquement que a.b divise cet entier N.
  Néanmoins il faut rappeler le résultat suivant :
  Soit N un entier naturel.
  Si a et b sont deux diviseurs de N et que PGCD(a, b) = 1, alors a.b divise N.
  
  En effet, si a | N, alors il existe un autre entier relatif c, tel que N = a.c
  
  On a aussi b | N, donc b | a.c. D'après le théorème de Gauss, comme PGCD(a, b) = 1, b divise c. Il existe donc un entier relatif d tel que c = b.d.
  On a alors N = a.(b.d) = (a.b).d, d'où
  a.b | N

• Enoncé

  Les nombres se terminant par 0, 2, 4, 6 ou 8 sont les seuls multiples de 2.
  
  (On dit qu'ils sont pairs !).

• Démonstration

  Tout d'abord remarquons que 0 (= 2.0), 2 (= 2.1), 4 ( = 2.2), 6 ( = 2.3) et 8 ( = 2.4) sont bien divisibles par 2.
  Soit A un entier naturel se terminant par 0, 2, 4, 6 ou 8.
  La décomposition en base 10 de cet entier s'écrit : avec a₀ appartenant à l'ensemble {0, 2, 4, 6, 8}. On peut donc écrire A = ().10 + a₀. Comme 10 et a₀ sont divisibles par 2, alors A est divisible par 2.
  
  Réciproquement, si a₀ n'est pas divisible par 2 alors, comme 10 l'est, A ne peut pas alors être divisible par 2, sans quoi A - ().10 le serait aussi, ce qui est absurde.

• Remarque

  Le résultat est bien connu mais la démonstration nécessite quand même des outils assez puissant comme la décomposition en base 10.

• Enoncé

  Les nombres se terminant par 0 ou 5 sont les seuls multiples de 5.

• Démonstration

  Soit A un entier naturel se terminant par 0 ou 5.
  
  La décomposition en base 10 de cet entier s'écrit : avec a₀ appartenant à l'ensemble {0, 5}. On peut donc écrire A = ().10 + a₀. Comme 10 et a₀ sont divisibles par 5, alors A est divisible par 5.
  
  Réciproquement, si a₀ n'est pas divisible par 5 alors, comme 10 l'est, A ne peut pas alors être divisible par 5, sans quoi A - ().10 le serait aussi, ce qui est absurde.
  

• Remarques

  -C'est la même méthode que pour la divisibilité par 2. Elle est basée sur le fait que 10 est divisible par 2 et 5.
  - Comme 2 et 5 sont premiers entre eux alors, d'après le résultat énoncé dans le chapitre I sur la divisibilité par un nombre composé , A est divisible par 2.5 = 10 ssi a₀ {0, 2, 4, 6, 8} {0, 5}, c'est-à-dire a₀ = 0.

• Enoncé

  Soit A un enter naturel.
  
  A se décompose en base 10 sous la forme

  On a alors :
  3 | A 3 | ( a_n + a_n-1 + .. + a₁ + a₀ ) 3 |
  
  9 | A 9 | ( a_n + a_n-1 + .. + a₁ + a₀ ) 9 |

• Démonstration

  Soit A un entier naturel.

  A se décompose en base 10 sous la forme

  Or = a₀ + 10.a₁ + 100.a₂ + ... + 10_n.a_n

  Soit = + 9.a₁ + 99.a₂ + ... + .a_n

  Donc = + 9.(a₁ + 11.a₂ + ... + .a_n )

  Comme 9 est divisible par 3 et par 9, il vient alors :

  3 | 3 |

  9 | 9 |

  -Remarques

  - Si vous ne savez pas si est divisible par 3 ou 9, vous pouvez réitérer le processus, car est de toutes façon un nombre plus petit que .

  - Un moyen simple afin que ne soit pas un nombre trop grand est de soustraire 9 à chaque fois que la somme partielle dépasse 10. En effet on retire à un multiple de 3 et de 9 donc on ne change pas le fait que le nombre soit divisible ou non par 3 ou 9.
  

  -Tour de Magie

  Nous allons présenter ici un " tour de magie ", qui se base sur cette propriété.
  

  Demandez à votre partenaire de choisir un nombre au hasard.

  Ensuite, dites-lui de retirer à ce nombre la somme de ses chiffres.

  Au nombre trouvé, faites-lui barrer un chiffre quelconque, autre que 0.

  Demandez-lui de vous montrer ce nouveau nombre... et dites-lui quel chiffre il a rayé.
  

  Explication :

  Soit A un entier naturel.

  A se décompose en base 10 sous la forme

  On a démontré précédemment que

  = + 9.(a₁ + 11.a₂ + ... + .a_n )

  Soit - = 9.(a₁ + 11.a₂ + ... + .a_n )

  Donc - est divisible par 9 et, d'après le théorème que l'on vient de démontrer, la somme de ses chiffres vaut 9. Ainsi, lorsque votre partenaire vous montre le nombre avec le chiffre barré, vous calculez de tête la somme des chiffres puis le nombre qu'il faudrait rajouter pour atteindre un multiple de 9 : c'est le chiffre barré.

  Le seul cas qui pose problème est celui ou la somme est divisible par 9 : a-t-il barré un 9 ou un 0 ? Cela impose d'interdire de barrer le 9 ou le 0... Ce problème ne peut pas se poser pour les autres chiffres car tout chiffre différent de 0 additionné de 9 devient supérieur ou égal à 10, donc un nombre à deux chiffres.

-Enoncé
Soit A un entier naturel.
A se décompose en base 10 sous la forme .
On a alors :
7 | A ( 7 | - 2.a₀ )

-Démonstration
Soit A un entier naturel.
Supposons que 7 | , alors, comme 7 | 21, on a
7 | (-21a₀).
Il vient que 7 | 10.( -2.a₀).
Comme 7 est premier et que 7 ne divise pas 10, d'après le théorème d'Euclide, il vient :
7 | (-2.a₀).
Réciproquement, si 7 | (-2.a₀), il divise aussi
10.( -2.a₀) = 10. -20.a₀.
Comme il divise aussi 21.a₀, il divise alors leur somme :
10. +a₀ =
D'où :
7 | A ( 7 | - 2.a₀

- Remarque
Un autre critère est exposé en remarque du critère de divisibilité par 13.

-Enoncé

Soit A un entier naturel.

A se décompose en base 10 sous la forme

On a alors

11 | A 11 | - a₀


-Démonstration

Soit A un entier naturel.

A se décompose en base 10 sous la forme

Soit n en entier relatif.

D'après le cours sur la divisibilité, on sait que

11 | A 11 | ( 11.n - A )

Posons n =

On a alors 11.n - A = 10.n -A + n

10.n - A = 10. - = - = -a₀

D'où

11 | A 11 | ( - a₀ )


-Remarque

-Ce processus permet de passer d'un nombre de k chiffres à un nombre de k-1 chiffres.

En le répétant, k fois on arrive à un chiffre appartenant à {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} qui indique le reste du nombre dans la division par 11. Si ce dernier est nul, le nombre initial était bien divisible par 11, dans le cas contraire non. On peut bien entendu s'arrêter dès qu'on reconnaît un multiple de 11.

-Enoncé

Soit A un entier naturel.

A se décompose en base 10 sous la forme .

On a alors

19 | A 19 | + 2.a₀


• Démonstration

  Soit A un entier naturel.
  Par division euclidienne par 10 de A, on écrit A sous la forme 10.x + y, avec (x, y) Z²
  On a alors
  19 | 10.x + y 19 | 2.( 10.x + y )
  
  La réciproque est alors assurée par le théorème de Gauss car PGCD(19, 2) = 1.
  D'où 19 | 10.x + y 19 | 2.( 10.x + y )
  Soit 19 | 10.x + y 19 | 20.x + 2.y
  D'après le cours sur la divisibilité, pour tout couple d'entiers relatifs (n, N), on a
  19 | N 19 | ( N - 19.n )
  
  En prenant N = 20.x + 2.y et n = x, on a
  19 | 20.x + 2.y 19 | ( x + 2.y )
  Finalement
  19 | A 19 | ( 10.x + y ) 19 | ( x + 2.y )

Tangente n° 29;
Oh, les Maths ! de Yakov Perelman (éd. DUNOD)