Exercice d'arithmétique

Oral d'Ulm


-Enoncé

Soit A = M2(R) vérifiant a > 0 et det A >0.

Soit q la forme quadratique associée dans la base canonique.

On pose m = inf { q, Z²\{}}.

  1. Montrer que m est atteinte.

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  2. Montrer qu'il existe PGL²(Z) telle que det P = 1 et
    t P.A.P =avec 2|b'| a' d'.

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  3. En déduire une inégalité entre m et det A.

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  4. On suppose que -1 est un carré modulo n. Montrer que n est somme de deux carrés.

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-Résolution

  1. On justifiera aisément le calcul suivant :
    a.q() = a.(a.x² + 2.b.x.y + c.y²) = a².()
    = (a.x + b.y)² + detA .y²
    Donc il n'y a qu'un nombre fini de couples appartenant à Z² vérifiant
    a.q() a.q();
    m est bien atteinte.

  2. Soit Z² \{} tel que q() = m.
    Il est clair que pgcd(x0, y0) = 1, donc d'après l'équivalence de Bezout , il existe deux entiers z0 et t0 tels que x0.z0 - y0.t0 = 1.
    Posons P' =.
    On a q(P') = q() = m, donc tP'AP' est de la forme .
    Soit kZ tel que |+km| .
    On a ..= ,
    donc en posant P = P', on a P M2(Z), detP = 1 et tPAP =, avec a' = m, 2.|b'| a'.
    Comme alors d' = q(P) m , on obtient 2.|b'| a' d', ce qui est l'inégalité désirée.

  3. On en déduit : 4.det A = 4.det(tPAP) = 4.(a'd'-b'²) 4a'²-a'²=3m²,
    ou encore m² < 2.detA.

  4. Ecrivons -1 = p² + q.n où p et q sont des entiers et posons A=.
    On a n > 0 et detA > 0, donc avec les notations précédentes,
    0 < m² < 2.detA = 2, ce qui donne m² = 1 et m = 1 car m est entier > 0.
    Il existe ainsi Z²\{} tel que n.x0² + 2.p.x0.y0 - q.y0² = 1,
    c'est à dire, en multipliant par n, et en remplaçant -q.n par p²+1 : n = (n.x0 + p.y0)² + y0² est somme de deux carrés d'entiers.

auteur : DEROIN Bertrand