Exercice d'arithmétique

Oral d'Ulm

-Enoncé

Soit A = M₂(R) vérifiant a > 0 et det A >0.

Soit q la forme quadratique associée dans la base canonique.

On pose m = inf { q, Z²\{}}.

1. Montrer que m est atteinte.
   

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2. Montrer qu'il existe PGL²(Z) telle que det P = 1 et
   ^t P.A.P =avec 2|b'| a' d'.
   
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3. En déduire une inégalité entre m et det A.
   
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4. On suppose que -1 est un carré modulo n. Montrer que n est somme de deux carrés.
   

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-Résolution

1. On justifiera aisément le calcul suivant :
   a.q() = a.(a.x² + 2.b.x.y + c.y²) = a².()
   = (a.x + b.y)² + detA .y²
   Donc il n'y a qu'un nombre fini de couples appartenant à Z² vérifiant
   a.q() a.q();
   m est bien atteinte.
   
   
2. Soit Z² \{} tel que q() = m.
   Il est clair que pgcd(x₀, y₀) = 1, donc d'après l'équivalence de Bezout , il existe deux entiers z₀ et t₀ tels que x₀.z₀ - y₀.t₀ = 1.
   Posons P' =.
   On a q(P') = q() = m, donc ^tP'AP' est de la forme .
   Soit kZ tel que |+km| .
   On a ..= ,
   donc en posant P = P', on a P M₂(Z), detP = 1 et ^tPAP =, avec a' = m, 2.|b'| a'.
   Comme alors d' = q(P) m , on obtient 2.|b'| a' d', ce qui est l'inégalité désirée.
   
   
3. On en déduit : 4.det A = 4.det(^tPAP) = 4.(a'd'-b'²) 4a'²-a'²=3m²,
   ou encore m² < 2.detA.
   
   
4. Ecrivons -1 = p² + q.n où p et q sont des entiers et posons A=.
   On a n > 0 et detA > 0, donc avec les notations précédentes,
   0 < m² < 2.detA = 2, ce qui donne m² = 1 et m = 1 car m est entier > 0.
   Il existe ainsi Z²\{} tel que n.x₀² + 2.p.x₀.y₀ - q.y₀² = 1,
   c'est à dire, en multipliant par n, et en remplaçant -q.n par p²+1 : n = (n.x₀ + p.y₀)² + y₀² est somme de deux carrés d'entiers.