des Transports et du Tourisme ENTPE, ENSG, ENTM, ENSTIMD,
Banque
de note pour le concours EIVP
Pour p et q entiers de N, avec p q, désigne l'ensemble des entiers compris au sens large entre p et q.
E désigne un espace vectoriel de dimension n, n 2, sur le corps K, avec K = R ou K = C ;
Dans tout le problème f désigne un endomorphisme de E; on a f ² = f o f et de même f k + 1 = f k o f.
I désigne l'identité et O désigne l'application nulle.
Par convention f 0 = I.
Si R K[X], R(X) = a0 + a1X +...+ apXp, on note R(f) l'endomorphisme a0I + a1f + ... + ap f p.
On note alors K[f] l'algèbre des polynômes de f. C'est-à-dire K[f] = {R(f) / R K[X] }.
On note Pf(X) = det(f - X.I),
le polynôme caractéristique de f et on rappelle
que Pf (f) = O.
Pour une matrice M Mn(K),
on pourra également introduire le polynôme caractéristique
de M défini par PM(X)
= det(M - X.In) où In
est la matrice unité de Mn(K).
On dit que f est cyclique si, et seulement si, il existe x0 dans E tel que (x0, f(x0), ... , f n - 1(x0)) soit une base de E.
On appelle commutant de f, l'ensemble C(f) = {g L(E) / fog = gof }
On admettra que C(f) est une algèbre de dimension au moins n sur K.
GLn(K) est l'ensemble des matrices inversibles d'ordre n, sur K.
I-1 Montrer que f est cyclique si et seulement si, il existe une base B de E dans laquelle f a pour matrice
avec (a0, a1, ... , an -1) Cn
On dira que C est la matrice compagne de f.
On conserve les notations de I-1
I-2 Soit Q(X) = Xn + an-1Xn - 1 + ... + a0. Déterminer en fonction de Q, le polynôme Pc caractéristique de C. On dira aussi que C est la matrice compagne de Pc.
Si f est un endomorphisme cyclique, a-t-on unicité
de la matrice compagne de f ?
I-3 Soit l une valeur propre
de C; déterminer la dimension du sous-espace propre
associé. Déterminer une base de ce sous-espace
propre.
II-4 On suppose dans cette question f n - 1 O et f n = O.
Montrer que f est cyclique et déterminer sa matrice compagne.
Quelle est la dimension du noyau de f ?
II-5 On suppose maintenant f nilpotent; c'est-à-dire qu'il existe un entier p supérieur ou égal à 2 tel que f p - 1 O et f p = O.
On pose pour k , Nk
= Ker f k et nk
= dim Nk.
On suppose également que n1 = 1.
a) Montrer que k , Nk
Nk +1 et f (Nk +1)
Nk
b) En considérant l'application j :
montrer que : k , nk
+ 1 nk + 1.
c) Montrer par récurrence que : nk = nk + 1 j k, Nj = Nk.
En déduire que p = n et déterminer
nk pour k .
III-6 Montrer que si f est cyclique, (I, f,
f ², ... , f n - 1) est
libre dans L(E). Ce
résultat sera également utilisé dans la
quatrième partie.
On suppose, dans cette partie, que (I, f, f
², ... , f n - 1) est libre
et on se propose de montrer que f est cyclique.
III-7 Dans cette question K = C. On factorise le polynôme caractéristique Pf de f sous la forme :
,
où les lk sont les p valeurs propres distinctes de f, et les mk dans N* leur ordre respectif de multiplicité.
Pour k , on pose Ek
= Ker((f - lkI)mk).
a) Montrer que les sous-espaces vectoriels Ek sont stables par f et que
E = E1 ... Ep.
b) Pour k , on note jk l'endomorphisme :
Déterminer . Quelle est la dimension de Ek ?
Montrer que n'est pas l'endomorphisme
nul.
c) En déduire l'existence d'une base B
de E dans laquelle f a une matrice " diagonale
par blocs ", ces blocs appartenant à Mmk(C),
et étant de la forme : (On
pourra utiliser la partie II).
d) En utilisant la matrice compagne de Pf
, montrer que f est cyclique.
III-8 On suppose, dans cette question uniquement,
que K = R.
a) Soient A et B deux matrices de Mn(R) semblables dans Mn(C) : A = QBQ-1 avec
Q GLn(C).
On écrit Q = Q1 + iQ2 avec Q1 et Q2 dans Mn(R).
Montrer que {l R / Q1 + l.Q2 GLn(R) } est non vide.
En déduire que A et B sont semblables dans
Mn(R).
b) Montrer que f est cyclique.
Conclure.
IV-9 On suppose f cyclique et on choisit x0
dans E tel que (x0, f(x0),
... , f n - 1(x0))
soit une base de E.
a) Soit g C(f).
En écrivant g(x0) = ,
montrer que g K[f].
b) Montrer que g C(f) si, et seulement si, il existe un unique polynôme R Kn - 1[X] tel que g = R(f).
(On rappelle que Kn
- 1[X] est l'ensemble des polynômes sur K
de degré n - 1).
IV-10 On suppose que C(f) = K[f]. Montrer que f est cyclique.
Conclure.
Dans cette partie K = C.
On dit que f est un " p-cycle "
si, et seulement si, il existe x0
E tel que la famille (x0, f(x0),
... , f n - 1(x0))
soit génératrice de E et f
p(x0) = x0.
V-11 Dans cette partie, f désigne un p-cycle.
a) Montrer que f p = I.
b) Soit E = { k N* / (x0, f(x0), ... , f k - 1(x0)) est une famille libre }
Montrer que E admet un maximum
noté m.
c) Montrer que : k m, f k(x0) Vect(x0, f(x0), ... , f m - 1(x0)).
En déduire que f est cyclique.
Déterminer le nombre de valeurs propres distinctes de
f.
V-12 Dans cette question, f désigne un n-cycle.
Déterminer C, matrice compagne de f.
On pose et, pour k Z, Uk =
Pour k , calculer C.Uk.
V-13 Soit M Mn(C) définie par M = (mk,l), avec mk,l = .
Calculer ; en déduire que M
GLn(C)
et calculer M-1.
V-14 Soit (a0, a1, ... an-1) Cn et A =
Montrer que A est diagonalisable. Déterminer les
valeurs propres et une base de vecteurs propres de A.