Ministère de l'Equipement, du Logement, Concours Commun 1996

des Transports et du Tourisme ENTPE, ENSG, ENTM, ENSTIMD,

Banque de note pour le concours EIVP

Pour p et q entiers de N, avec p q, désigne l'ensemble des entiers compris au sens large entre p et q.

E désigne un espace vectoriel de dimension n, n 2, sur le corps K, avec K = R ou K = C ;

Dans tout le problème f désigne un endomorphisme de E; on a f ² = f o f et de même f k + 1 = f k o f.

I désigne l'identité et O désigne l'application nulle.

Par convention f 0 = I.

Si R K[X], R(X) = a0 + a1X +...+ apXp, on note R(f) l'endomorphisme a0I + a1f + ... + ap f p.

On note alors K[f] l'algèbre des polynômes de f. C'est-à-dire K[f] = {R(f) / R K[X] }.

On note Pf(X) = det(f - X.I), le polynôme caractéristique de f et on rappelle que Pf (f) = O.

Pour une matrice M Mn(K), on pourra également introduire le polynôme caractéristique de M défini par PM(X) = det(M - X.In) où In est la matrice unité de Mn(K).

On dit que f est cyclique si, et seulement si, il existe x0 dans E tel que (x0, f(x0), ... , f n - 1(x0)) soit une base de E.

On appelle commutant de f, l'ensemble C(f) = {g L(E) / fog = gof }

On admettra que C(f) est une algèbre de dimension au moins n sur K.

GLn(K) est l'ensemble des matrices inversibles d'ordre n, sur K.

I-1 Montrer que f est cyclique si et seulement si, il existe une base B de E dans laquelle f a pour matrice

avec (a0, a1, ... , an -1) Cn

On dira que C est la matrice compagne de f.

On conserve les notations de I-1

I-2 Soit Q(X) = Xn + an-1Xn - 1 + ... + a0. Déterminer en fonction de Q, le polynôme Pc caractéristique de C. On dira aussi que C est la matrice compagne de Pc.

Si f est un endomorphisme cyclique, a-t-on unicité de la matrice compagne de f ?

I-3 Soit l une valeur propre de C; déterminer la dimension du sous-espace propre associé. Déterminer une base de ce sous-espace propre.

II-4 On suppose dans cette question f n - 1 O et f n = O.

Montrer que f est cyclique et déterminer sa matrice compagne.

Quelle est la dimension du noyau de f ?

II-5 On suppose maintenant f nilpotent; c'est-à-dire qu'il existe un entier p supérieur ou égal à 2 tel que f p - 1 O et f p = O.

On pose pour k , Nk = Ker f k et nk = dim Nk.

On suppose également que n1 = 1.

a) Montrer que k , Nk Nk +1 et f (Nk +1) Nk

b) En considérant l'application j :

montrer que : k , nk + 1 nk + 1.

c) Montrer par récurrence que : nk = nk + 1 j k, Nj = Nk.

En déduire que p = n et déterminer nk pour k .

III-6 Montrer que si f est cyclique, (I, f, f ², ... , f n - 1) est libre dans L(E). Ce résultat sera également utilisé dans la quatrième partie.

On suppose, dans cette partie, que (I, f, f ², ... , f n - 1) est libre et on se propose de montrer que f est cyclique.

III-7 Dans cette question K = C. On factorise le polynôme caractéristique Pf de f sous la forme :

,

où les lk sont les p valeurs propres distinctes de f, et les mk dans N* leur ordre respectif de multiplicité.

Pour k , on pose Ek = Ker((f - lkI)mk).

a) Montrer que les sous-espaces vectoriels Ek sont stables par f et que

E = E1 ... Ep.

b) Pour k , on note jk l'endomorphisme :

Déterminer . Quelle est la dimension de Ek ?

Montrer que n'est pas l'endomorphisme nul.

c) En déduire l'existence d'une base B de E dans laquelle f a une matrice " diagonale par blocs ", ces blocs appartenant à Mmk(C), et étant de la forme : (On pourra utiliser la partie II).

d) En utilisant la matrice compagne de Pf , montrer que f est cyclique.

III-8 On suppose, dans cette question uniquement, que K = R.

a) Soient A et B deux matrices de Mn(R) semblables dans Mn(C) : A = QBQ-1 avec

Q GLn(C).

On écrit Q = Q1 + iQ2 avec Q1 et Q2 dans Mn(R).

Montrer que {l R / Q1 + l.Q2 GLn(R) } est non vide.

En déduire que A et B sont semblables dans Mn(R).

b) Montrer que f est cyclique.

Conclure.

IV-9 On suppose f cyclique et on choisit x0 dans E tel que (x0, f(x0), ... , f n - 1(x0)) soit une base de E.

a) Soit g C(f). En écrivant g(x0) = , montrer que g K[f].

b) Montrer que g C(f) si, et seulement si, il existe un unique polynôme R Kn - 1[X] tel que g = R(f).

(On rappelle que Kn - 1[X] est l'ensemble des polynômes sur K de degré n - 1).

IV-10 On suppose que C(f) = K[f]. Montrer que f est cyclique.

Conclure.

Dans cette partie K = C. On dit que f est un " p-cycle " si, et seulement si, il existe x0 E tel que la famille (x0, f(x0), ... , f n - 1(x0)) soit génératrice de E et f p(x0) = x0.

V-11 Dans cette partie, f désigne un p-cycle.

a) Montrer que f p = I.

b) Soit E = { k N* / (x0, f(x0), ... , f k - 1(x0)) est une famille libre }

Montrer que E admet un maximum noté m.

c) Montrer que : k m, f k(x0) Vect(x0, f(x0), ... , f m - 1(x0)).

En déduire que f est cyclique.

Déterminer le nombre de valeurs propres distinctes de f.

V-12 Dans cette question, f désigne un n-cycle.

Déterminer C, matrice compagne de f.

On pose et, pour k Z, Uk =

Pour k , calculer C.Uk.

V-13 Soit M Mn(C) définie par M = (mk,l), avec mk,l = .

Calculer ; en déduire que M GLn(C) et calculer M-1.

V-14 Soit (a0, a1, ... an-1) Cn et A =

Montrer que A est diagonalisable. Déterminer les valeurs propres et une base de vecteurs propres de A.