)
des Transports et du Tourisme ENTPE, ENSG, ENTM, ENSTIMD,
Banque
de note pour le concours EIVP
Le plan affine euclidien est rapporté à un repère
orthonormé direct R
= (O ; )
On se propose d'étudier quelques propriétés de la courbe G (appelée spirale de Cornu), ensemble des points M(t) dont les coordonnées dans R sont
I-1 Montrer que les fonctions X et Y sont
de classe 
sur R.
Etudier la parité de X et de Y. Quelle symétrie
présente G.
I-2 Montrer que les fonctions X et Y ont
des limites finies lorsque t tend vers 
.
Que peut-on en déduire pour la courbe G
?
On admettra que ces limites sont toutes deux égales à
et on appellera K le point de
coordonnées (
,
).
I-3 Etudier les variations de X et de Y.
(Tableau de variations).
I-4 On pose dans la suite, pour tout t appartenant à
R, 
.
Donner une interprétation géométrique simple
de F(t).
Prouver que F est de classe C1
sur R+ et que,
pour t appartenant à R+,
on a 
I-5 On fixe un nombre a strictement
positif et on pose 
.
a) Si f est une fonction continue et strictement
décroissante sur [0,p], montrer
que 
est strictement positive.
b) Etudier la série de terme général
et en déduire que I est
un réel strictement positif.
c) Que peut-on en conclure concernant la fonction F
?
I-6 Employer une méthode analogue à celle
qu'on a utilisée au 5°), pour déterminer le
signe de Y(t) pour tout t appartenant à
. On admettra de même que X(t)
est strictement positif pour tout t appartenant à
.
I-7 G admet-elle un point double
?
I-8 Montrer que G a un unique
point d'inflexion; le déterminer.
I-9 Représenter la courbe G.
II-10 Déterminer une abscisse curviligne s
sur G ( on pourra choisir l'origine
en O).
II-11 Déterminer le rayon de courbure R de
G en un point M(t).
II-12 On considère un arc birégulier
: g de classe C
2, et soit s une abscisse curviligne
sur g. On suppose qu'en tout point
M de g d'abscisse curviligne s,
le rayon de courbure R vérifie R.s = 
.
a) Si f désigne l'angle
(
), où 
est un vecteur unitaire de la tangente orientée à
g au point M de g
d'abscisse curviligne s, montrer que f
s'exprime en fonction de s par une relation du type :
f = k + s².
b) En déduire qu'il existe une transformation géométrique
simple T telle que T(g)
G.