Ministère de l'Equipement, du Logement, Concours Commun 1996

des Transports et du Tourisme ENTPE, ENSG, ENTM, ENSTIMD,

Banque de note pour le concours EIVP




COMPOSITION DE MATHEMATIQUES PRATIQUES

Temps accordé : 2 heures



Le plan affine euclidien est rapporté à un repère orthonormé direct R = (O ; )

On se propose d'étudier quelques propriétés de la courbe G (appelée spirale de Cornu), ensemble des points M(t) dont les coordonnées dans R sont



I CONSTRUCTION DE G

I-1 Montrer que les fonctions X et Y sont de classe sur R.

Etudier la parité de X et de Y. Quelle symétrie présente G.

I-2 Montrer que les fonctions X et Y ont des limites finies lorsque t tend vers . Que peut-on en déduire pour la courbe G ?

On admettra que ces limites sont toutes deux égales à et on appellera K le point de coordonnées (,).

I-3 Etudier les variations de X et de Y. (Tableau de variations).

I-4 On pose dans la suite, pour tout t appartenant à R, .

Donner une interprétation géométrique simple de F(t).

Prouver que F est de classe C1 sur R+ et que, pour t appartenant à R+, on a

I-5 On fixe un nombre a strictement positif et on pose .

a) Si f est une fonction continue et strictement décroissante sur [0,p], montrer que est strictement positive.

b) Etudier la série de terme général et en déduire que I est un réel strictement positif.

c) Que peut-on en conclure concernant la fonction F ?

I-6 Employer une méthode analogue à celle qu'on a utilisée au 5°), pour déterminer le signe de Y(t) pour tout t appartenant à . On admettra de même que X(t) est strictement positif pour tout t appartenant à .

I-7 G admet-elle un point double ?

I-8 Montrer que G a un unique point d'inflexion; le déterminer.

I-9 Représenter la courbe G.

II ETUDE METRIQUE DE G

II-10 Déterminer une abscisse curviligne s sur G ( on pourra choisir l'origine en O).

II-11 Déterminer le rayon de courbure R de G en un point M(t).

II-12 On considère un arc birégulier : g de classe C 2, et soit s une abscisse curviligne sur g. On suppose qu'en tout point M de g d'abscisse curviligne s, le rayon de courbure R vérifie R.s = .

a) Si f désigne l'angle (), où est un vecteur unitaire de la tangente orientée à g au point M de g d'abscisse curviligne s, montrer que f s'exprime en fonction de s par une relation du type : f = k + s².

b) En déduire qu'il existe une transformation géométrique simple T telle que T(g) G.




FIN