Ministère de l'Equipement, du Logement, Concours Commun 1996

des Transports et du Tourisme ENTPE, ENSG, ENTM, ENSTIMD,

Banque de note pour le concours EIVP

Soit R0 = (O; ) un repère orthonormé direct de l'espace affine euclidien R3. Rq = un autre repère orthonormé direct défini par = cosq. + sinq.; = -sinq. + cosq. où q est un réel appartenant à ]-p,p].

Soit (a, R) un couple de réels strictement positifs.

Soit la surface définie par l'ensemble des points M tels que :

où q et j décrivent ]-p,p].

I-1 Montrer queest une surface de révolution d'axe (O,) dont les méridiennes sont constituées de cercles. Préciser le rayon de ces cercles et l'ensemble de leurs centres.

I-2 Discuter suivant les valeurs relatives de a et R l'existence d'un plan tangent en un point de . Interpréter le résultat sur des figures représentant les méridiennes du plan (O; ) dans les différents cas.

I-3 Montrer que a une équation de la forme : f(x, y, z) = 0, (x, y, z) étant les coordonnées de M dans R0 , avec f(x, y, z) = (x² + y² + z² + a² - R²)² - 4a²(x² + y²).

I-4 a) - Soit la courbe Gl définie par les relations

où l est un réel strictement positif donné, et soit gl la projection orthogonale de Gl sur le plan (O; ).

Etudier et tracer gl.

b) Déterminer une équation de la surface de révolution engendrée par rotation de Gl autour de l'axe (O; ).

Montrer que c'est une surface pour des valeurs de a et R à exprimer en fonction de l.

Dans toute la suite de problème , on supposera a>R.

On posera , et éventuellement

On note Pa le plan d'équation : z = y.tan a dans R0.

II-5 a) coupe le plan (O; ) suivant des cercles C1 et C2 (cercles méridiens) dont on donnera des équations.

b) Montrer que le plan (O;) coupe le plan Pa suivant une droite qui est une tangente commune aux deux cercles C1 et C2 en des points notés respectivement A1 sur C1 et A2 sur C2. Donner les coordonnées dans R0 de A1 et A2.

c) Montrer que Pa est constitué de deux cercles passant par A1 et A2; préciser le rayon de ces cercles.

d) Quel est le plan tangent à en A1 et en A2 ?

On cherche les courbes de classe C1 tracées sur qui coupent les parallèles (cercles de d'axe (O; )) selon un angle b constant. (On rappelle que l'angle de deux courbes en un point M est l'angle que forment en M leurs tangentes).

On définira ces courbes par : où j est une fonction de classe C1 de la variable q.

III-6 Déterminer en un même point M de des vecteurs tangents d'une part à la courbe définie par et d'autre part au parallèle de qui passe par M. (On rappelle qu'un tel parallèle est défini par une équation : j = constante).

III-7 a) Montrer que j est solution de l'équation différentielle :

(1)

On prendra dorénavant b = a.

b) Montrer que (1) équivaut alors à : (2)

où e est une constante égale à 1 ou à -1.

On prendra désormais e = +1.

III-8 a) Déterminer la fonction définie sur ]-p,p[, telle que j(0) = 0 et la prolonger en q = p.

b) En déduire un système d'équations paramétriques dans R0 de la courbe cherchée qu'on notera L.

c) Déterminer la projection orthogonale L de L sur le plan (O; ).

d) Monter que L est une courbe plane simple, dont on donnera la nature.

Dans ce problème N désigne un élément de Z et on étudie l'équation différentielle dite " de Bessel " :

x².y'' + x.y' + (x² - N²).y = 0 (BN).

Soit JN l'application de R dans R définie par : JN(x) = .

A-1 Comparer, pour tout x réel, J-N(x) et JN(-x). Déterminer JN(-x) en fonction de JN(x).

A-2 Montrer que JN est de classe sur R. Donner les expressions de J'N(x) et J''N(x).

A-3 En utilisant les dérivées des fonctions et , montrer que JN vérifie (BN) sur R.

A-4 Calculer J0(0); J'0(0); J''0(0).

A-5 a) Montrer que, pour x 0, et pour tout N de Z, JN -1(x) + JN +1(x) = JN(x).

b) Donner, pour x R et N Z, une relation entre J'N(x) et JN -1(x) - JN +1(x).

c) Montrer que, pour tout x R, J1(x) + J'0(x) = 0.

B-6 Développer J0 en série entière. En donner le terme général et le rayon de convergence.

B-7 a) Montrer que pour tout N N, JN est également développable en série entière et en donner le rayon de convergence.

b) Montrer que le terme général de cette série entière peut se mettre sous la forme aN(k).xN + 2K, où k N. Préciser aN(k).

C-8 Soit un couple (a,b) R², avec a < b. Soit f une fonction de classe C1 sur [a, b] à valeurs dans R. Déterminer .

C-9 a) En déduire la valeur de .

b) Démontrer la convergence et donner la valeur de .

C-10 Démontrer pour (l, X) ,

et en déduire la valeur de : .