I. Première Partie
1) Voir article sur la fonction G.2) Voir article sur la fonction G.
3) Le but de cette question est d'intégrer n fois par parties, en faisant à chaque fois baisser d'une unité le degré de (1-t)n et augmenter d'une unité celui de t x-1.
= +Comme = 0, on obtient :=On répète n fois l'opération et il vient :=Soit :=4) Comme = = , on peut alors déduire du résultat de la question 3) :
= (*)Or P(x, n) =
On fait le changement de variable : t = .
Soit :du = n.dt.D'où :
u = 0 entraîne t = 0.
u = n entraîne t = 1.
P(x, n) =D'après (*), il vient :
=P(x, n) =5) a) Pour n N*, on a : = .Donc un = = .
Soit un = .
b) Comme t [0, 1],
et
soit 0 un
Par comparaison aux séries de Riemann, Sun est convergzente.
Donc UN = converge et on a :
UN =
Par télescopage dans la deuxième somme, il vient : UN = .Soit existe, ou encore :
existe.
6) a) Posons f(x) = ln(1+x) - x + .
On a : f'(x) = -1 + x.
f'(x) = 0 1 = 1 + x² x = 0.
Comme f'(1) > 0, f'(x) est positive sur [0, 1].
Sur [0, 1], f(x) f(1) < 0.
Soit, pour x [0, 1], ln(1+x) < x - .
Soit N < n, N 0.
Soit alors, x tel que 0 x N. On a [0, 1], donc :
.
Or x N, d'où
.
Soit, si 0 x N, |gn(x)| .
b) Soit x [a, b] R+*
Il existe N N / b N.
+ .
D'après a) = .
Par comparaison aux séries de Riemann, il vient que |Sgn(x)| est convergente.
D'où :
S(x) = existe.
Sur [a, b], .
D'où Sgn(x) est normallement convergente sur [a, b]. Il s'en suit que Gn = converge uniformément sur tout segment de R+* vers S(x) et comme Gn(x) est continue pour tout n et que tout x R+* appartient à l'intérieur d'un segment de R+*, finalement :
S(x) est continue sur R+*.
C) g'n(x) = = .
R étant archimédien, il existe Nx N tel que Nx x < Nx + 1.
D'où : g'n(x) 0
0.
Finalement, vn(x) = converge simplement vers .
Soit x [a, b] R+*, on a :
= .
Donc, e >0, M N / x [a, b], n N, n M, on a e et vn(x) converge donc vers sur tout segment de R+*. Comme pour tout x R+*, il existe (a, b) , tel que x [a, b] et comme Sgn(x) converge, alors :
S(x) = est dérivable sur R+* avec
S'(x) = =.
d) fN(x) =
ln(fN(x)) = ln(x.e g.x) +
ln(fN(x)) = ln(x.e g.x) +
ln(fN(x)) = ln(x.e g.x) +
Comme Sgn(x) est convergente, il vient :
ln(fN(x)) = ln(x.e g.x) + S(x)
Comme ln est continue, ln(fN(x)) = ln(fN(x)) = ln(f(x)), soit
ln(f(x)) = ln(x.e g.x) + S(x)
Comme ln(x.e g.x) est C1 et S(x) est D1, ln(f(x)) est dérivable sur R+*,
et = (ln(x.e g.x))' + S'(x).
Soit f'(x) =
Donc f'(x) est C0 sur R+*.
D'où
f(x) est définie, continûment dérivable sur R+*.
D'après les expressions trouvées précédemment
ln f(1) = ln(e g) + S(1) = g + S(1)
S(1) = = .
=
D'après l'étude effectuée au 5) b), il vient
S(1) = -g soit ln f(1) = 0
D'où f(1) = 1.
On a ausssi f'(x)=
Comme f(1) = 1, f'(1) = S'(1) + g + 1.
S'(1) = = -1.
D'où : f'(1) = g.