I. Première Partie

1) Voir article sur la fonction G.

2) Voir article sur la fonction G.

3) Le but de cette question est d'intégrer n fois par parties, en faisant à chaque fois baisser d'une unité le degré de (1-t)ⁿ et augmenter d'une unité celui de t ^x-1.

= +

Comme = 0, on obtient :

=

On répète n fois l'opération et il vient :

=

Soit :

=

4) Comme = = , on peut alors déduire du résultat de la question 3) :

= (*)

Or P(x, n) =

On fait le changement de variable : t = .
Soit :

du = n.dt.
u = 0 entraîne t = 0.
u = n entraîne t = 1.

D'où :

P(x, n) =
=

D'après (*), il vient :

P(x, n) =

5) a) Pour n N*, on a : = .

Donc u_n = = .

Soit u_n = .

b) Comme t [0, 1],

et

soit 0 u_n

Par comparaison aux séries de Riemann, Su_n est convergzente.

Donc U_N = converge et on a :

U_N =
Par télescopage dans la deuxième somme, il vient : U_N = .

Soit existe, ou encore :

existe.

6) a) Posons f(x) = ln(1+x) - x + .

On a : f'(x) = -1 + x.

f'(x) = 0 1 = 1 + x² x = 0.

Comme f'(1) > 0, f'(x) est positive sur [0, 1].

Sur [0, 1], f(x) f(1) < 0.

Soit, pour x [0, 1], ln(1+x) < x - .

Soit N < n, N 0.

Soit alors, x tel que 0 x N. On a [0, 1], donc :

.

Or x N, d'où

.

Soit, si 0 x N, |g_n(x)| .

b) Soit x [a, b] R⁺*

Il existe N N / b N.

+ .

D'après a) = .

Par comparaison aux séries de Riemann, il vient que |Sg_n(x)| est convergente.

D'où :

S(x) = existe.

Sur [a, b], .

D'où Sg_n(x) est normallement convergente sur [a, b]. Il s'en suit que G_n = converge uniformément sur tout segment de R⁺* vers S(x) et comme G_n(x) est continue pour tout n et que tout x R⁺* appartient à l'intérieur d'un segment de R⁺*, finalement :

S(x) est continue sur R⁺*.

C) g'_n(x) = = .

R étant archimédien, il existe N_x N tel que N_x x < N_x + 1.

D'où : g'_n(x) 0

0.

Finalement, v_n(x) = converge simplement vers .

Soit x [a, b] R⁺*, on a :

= .

Donc, e >0, M N / x [a, b], n N, n M, on a e et v_n(x) converge donc vers sur tout segment de R⁺*. Comme pour tout x R⁺*, il existe (a, b) , tel que x [a, b] et comme Sg_n(x) converge, alors :

S(x) = est dérivable sur R+* avec

S'(x) = =.

d) f_N(x) =

ln(f_N(x)) = ln(x.e ^g.x) +

ln(f_N(x)) = ln(x.e ^g.x) +

ln(f_N(x)) = ln(x.e ^g.x) +

Comme Sg_n(x) est convergente, il vient :

ln(f_N(x)) = ln(x.e ^g.x) + S(x)

Comme ln est continue, ln(f_N(x)) = ln(f_N(x)) = ln(f(x)), soit

ln(f(x)) = ln(x.e ^g.x) + S(x)

Comme ln(x.e ^g.x) est C¹ et S(x) est D¹, ln(f(x)) est dérivable sur R⁺*,

et = (ln(x.e ^g.x))' + S'(x).

Soit f'(x) =

Donc f'(x) est C⁰ sur R⁺*.

D'où

f(x) est définie, continûment dérivable sur R⁺*.

D'après les expressions trouvées précédemment

ln f(1) = ln(e ^g) + S(1) = g + S(1)

S(1) = = .

=

D'après l'étude effectuée au 5) b), il vient

S(1) = -g soit ln f(1) = 0

D'où f(1) = 1.

On a ausssi f'(x)=

Comme f(1) = 1, f'(1) = S'(1) + g + 1.

S'(1) = = -1.

D'où : f'(1) = g.