Exercice d'arithmétique

Oral des Mines

- Enoncé

Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 5.

Soit N un entier naturel tel que :

(1)

Montrer que p divise N.

- Résolution

En multipliant (1) par (p - 1)!², il vient

Nous allons montrer que N 0 [p], ce qui est équivalent au résultat demandé.

Calcul intermédiaire : Classe de dans Fp.

On a (p-1)! = 1.2...k...(p-1)

Donc dans Fp :

Fp étant un corps car p est premier, il y a deux possibilités :

- Soit est sont propre inverse dans Fp et alors ()² = 1.

On a alors

D'après le théorème de Wilson, comme p est premier on a alors :

- Soit possède un inverse distinct de lui-même : -1.

Comme Fp est commutatif, le produit peut s'effectuer dans un ordre arbitraire et notemment en couplant les éléments avec leur inverse lorsque ce dernier est différent (car sont tous les éléments non nuls de Fp et ils sont donc inversibles).

et

Finalement il ne reste plus que le produit des éléments qui sont leur propre inverse et , soit quand on élève au carré :

( Les termes qui sont leur propre inverse mis au carré deviennent égaux à )

Il vient donc dans tous les cas :

En utilisant le résultat précédent il apparaît :

Or, quand k décrit {1,..,p-1}, décrit = {} donc

D'après l'article sur les sommes de puissance, on sait que

Ici, il vient

Comme N est un entier, 2 et 3 divisent p.(2.p² - 3.p + 1).

Par hypothèse, p est un nombre premier supérieur ou égal à 5, c'est-à-dire différent de 2 et 3.

Comme 2 et 3 sont premiers et qu'ils ne peuvent pas diviser p (car p est un nombre premier différent de 2 et 3) alors, d'après le théorème d'Euclide, ils divisent (2.p² - 3.p + 1) et on a

d'où N p.m [p] 0 [p]

Finalement p divise N

- Remarque

La démonstration, qui consiste principalement à trouver la classe de , est très proche de celle du théorème de Wilson, auquel (p - 1)! fait très rapidement penser.

Auteur

Pascal Audoux