96 - MATH. II P'

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES II - P'

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de l'options P', comporte 6 pages.

Dans tout le problème la lettre n désigne un entier strictement supérieur à 1. A toute matrice carrée complexe d'ordre n, d'éléments m_ij, 1in, 1jn, associons le réel ||M|| défini par la relation :

Il est admis que cette application du C-espace vectoriel M_n(C) des matrices carrées complexes d'ordre n est une norme. L'espace vectoriel normé (M_n(C), || ||), de dimension n², est désigné par M. A cause du choix de la norme et de la dimension finie n² de l'espace M_n(C) les résultats suivants sont admis.

R-1. Cette norme est une norme d'algèbre : pour tout couple de matrices M et N de M, il vient : ||M.N|| ||M||.||N|| .

R-2. Soit (U_p)_pN une suite de matrices de M (les éléments de la matrice U_p sont notés u_p;ij, 1in, 1jn) ; pour que la suite de terme général U_p, pN, soit convergente dans M et de limite une matrice donnée U = (u_ij), il faut et il suffit que chaque suite complexe (u_p;ij)_pN soit convergente et de limite u_ij.

R-3. Soit X : t X(t) une application d'un intervalle ouvert I de R dans M. Désignons les éléments de la matrice X(t) par x_ij(t), 1in, 1jn. Pour que la fonction t X(t) soit une application continûment dérivable de I dans M, il faut et il suffit que les n² fonctions, de I dans C, x_ij : t x_ij(t) soient continûment dérivables.

R-4. Soient f : t f(t) une fonction complexe définie dans un intervalle ouvert I de R, X : t X(t) et Y : t Y(t) deux applications de I dans M. Si les trois fonctions f, X et Y sont continûment dérivables, les fonctions f.X : t f(t).X(t) et X.Y : t X(t).Y(t) sont continûment dérivables de I dans M. Les dérivées sont données par la formule de Leibnitz.

Le problème est consacré à la recherche de solutions d'équations différentielles matricielles. Chaque équation différentielle considérée est définie par les éléments suivants :

un intervalle ouvert I auquel appartient le réel 0.

une application f continue de MxI dans M : (M,t) f(M,t).

une matrice X₀ de M.

Une solution t X(t) est une application, continûment dérivable d'un intervalle J, contenu dans I, voisinage de 0, dans M vérifiant les relations :

(E)

Il est admis que, pour les fonctions f considérées dans la suite, si t X(t) et t Y(t) sont deux solutions de l'équation différentielle (E) définies dans un même intervalle J, contenu dans I, voisinage de 0, ces deux solutions sont égales.

L'objet de cette partie est de résoudre des équations différentielles matricielles homogènes en recherchant une solution qui soit la somme d'une série entière.

I-1 °) Dérivabilité de la somme d'une série entière de matrices :

Soit a un réel strictement positif et (A_p)_pN une suite de matrices ; supposons que, pour tout réel t appartenant à l'intervalle ]-a , a[, la série de terme général t^p.A_p, pN, soit convergente dans M et de somme S(t) : S(t) = .

Démontrer que chaque élément s_ij(t) de la matrice S(t) est la somme d'une série entière de rayon de convergence au moins égal au réel a. En déduire que la fonction t S(t) de ]-a , a[ dans M est dérivable ; préciser sa dérivée.

I-2 °) Résolution d'une équation différentielle homogène :

L'objet de cette question est de montrer que si P, Q et X₀ sont trois matrices données de M, il existe une suite de matrices (A_p)_pN de M telle que la fonction t X(t) définie par la relation : X(t) =

soit l'unique solution de l'équation différentielle

(H₁)

a. Soit S(t) la somme d'une série de terme général t^p.B_p, p N, convergente lorsque le réel t appartient à l'intervalle [-a , a] (a > 0) ; S(t) = . Démontrer que si la somme S(t) de cette série vérifie pour tout réel t de l'intervalle [-a , a] les équations : S(t) = P.S(t).Q , S(0) = X0 , les matrices B_p, pN, sont définies de manière unique en fonction des matrices P, Q et X₀. Donner, pour tout entier naturel p, l'expression de la matrice B_p en fonction des matrices P, Q et X₀. Déduire des résultats précédents l'inégalité :

||B_p|| ||P||^p ||Q||^p ||X₀||.

Quel est le rayon de convergence R de la série entière de terme général t^p.||B_p||, pN ?

b. Déduire de ces résultats l'existence d'une fonction t X(t), somme d'une série de matrice de terme général t^p.A_p, pN, unique solution, de l'équation différentielle (H₁).

c. Démontrer que la solution t X(t) obtenue vérifie pour tout réel t, l'inégalité :

d. Démontrer l'égalité entre les deux solutions t X(t) et t Y(t) des équations (H₁) lorsque le triplet de matrices (P, Q, X₀) vaut respectivement (A, I_n, I_n) et (I_n, A, I_n) ; A est une matrice donnée, I_n la matrice unité.

Désignons par t exp(tA) ou t e^tA la solution commune aux équations dans ces deux cas.

I-3 °) Un exemple :

Dans cette question l'entier n est égal à 2 ; étant donné les deux nombres complexes a et b, différents de 0, soient A et B les deux matrices :

A = , B = .

Calculer les matrices A² , B², AB et BA. Déterminer les matrices e^tA,e^tB et e^t(A+B) en fonction du réel t e^ty des matrices I₂, A et B. Comparer le produit de matrices e^tA.e^tB à la matrice e^t(A+B). Vérifier la relation :

(e^tAe^tB) = e^tA.(A+B).e^tB.

I-4 °) Propriétés de la fonction t e^tP.

a. Soient A et B deux matrices quelconques de l'espace M ; déterminer la dérivée de la fonction t e^tA.e^tB en fonction des matrices e^tA, A+B et e^tB.

b. Soit f une fonction réelle continûment dérivable définie sur un intervalle I de R et A une matrice de M. Démontrer que la fonction de I dans M : t exp(f(t).A) est continûment dérivable. Préciser sa dérivée.

I-5 °) Une expression de exp(A+B) lorsque les matrices A et B ne commutent pas :

Dans cette question, A et B sont deux matrices de M qui commutent avec la matrice C définie par la relation : C = A.B - B.A .

a. Démontrer, pour tout entier p supérieur ou égal à 1, la relation :

b. Soit X la fonction de R dans M définie par la relation :

X(t) = exp(t.A).exp(-t².C).exp(t.B).

Déterminer la matrice M telle que la relation X(t) = M.X(t) ait lieu.

c. En déduire une expression de la matrice exp(A+B) à l'aide des matrices exp(A),

exp(-C) et exp(B).

d. Exemple : Soient x, y, z, x', y' et z' des réels ; soient A et B les deux matrices :

A = , B = .

Calculer les matrices A.B et B.A ; établir que les matrices A et B commutent avec la matrice C = A.B - B.A . Il sera admis que les matrices A³, A².B, A.B², B³ sont nulles. Calculer, en fonction des matrices A, B, A², A.B, B.A et B², les matrices e^A, e^B, e^A+B et exp(-C). Vérifier le résultat obtenu ci-dessus.

I-6 °) Propriétés de la fonction A expA :

Soit A une matrice de M ; il est admis que la matrice exp(A) est inversible, d'inverse exp(-A) et que la matrice transposée de exp(A) est exp(^tA). Etablir que, si g est une fonction complexe définie sur un intervalle I continûment dérivable, la fonction de I dans M : t exp(g(t).A) est continûment dérivable. Préciser sa dérivée.

I-7 °) Application.

Soient A, B et X₀ trois matrices données de M ; déterminer la solution de l'équation différentielle :

(H₂)

On pourra considérer la fonction Y déduite de X par la relation : Y(t) = e^-tA.X(t).e^-tB.

L'objet de cette partie est la résolution d'équations différentielles du type suivant :

X(t) = (X(t) - A).M(t).(X(t) - B) ; X(0) = X₀

II-1 °) Dérivée de la fonction t X(t)^-1 :

a. Soit t X(t) une fonction continûment dérivable d'un intervalle I de la droite réelle dans M. Ces matrices X(t) sont supposées inversibles. Soit Y(t) la matrice inverse

X(t)^-1. Démontrer que la fonction t Y(t) est continûment dérivable ; préciser la dérivée Y(t) en fonction de X(t) et de sa dérivée X(t).

b. Soit t C(t) une application continue d'un intervalle I ouvert de R, voisinage de 0, dans l'espace M ; démontrer l'existence et l'unicité d'une fonction t X(t) continûment dérivable de I dans M vérifiant les relations :

pour tout réel t de I, X(t) = C(t) ; X(0) = I_n..

En déduire qu'il existe un intervalle ouvert J voisinage de 0 dans lequel la matrice x(t) est inversible. Préciser ce résultat, lorsque la matrice C(t) est égale à une matrice D constante (indépendante du réel t).

II-2 °) Résolution d'une équation différentielle non-linéaire :

Soit t C(t) une application continue d'un intervalle ouvert I de R, voisinage de 0, dans l'espace M et X₀ une matrice de M. L'objet de cette question est de rechercher une fonction t X(t) continûment dérivable d'un intervalle ouvert J, voisinage de 0, contenu dans I, dans M solution de l'équation différentielle :

(F₁)

a. Soit Y une fonction inconnue telle que : X(t) = X₀.Y(t)^-1, Y(0) = I_n.

Déterminer une équation différentielle (G₁) telle que si cette fonction Y est solution de (G₁), la fonction X : t X(t) soit solution de l'équation (F₁).

b. Démontrer qu'il existe une et une seule solution de l'équation (F₁), définie dans un intervalle ouvert J, voisinage de 0, contenu dans I.

II-3°) Généralisation et exemples :

a. Soient A, B, C et X₀ quatre matrices de l'espace M. Le but de cette question est de rechercher une fonction t X(t) continûment dérivable d'un intervalle ouvert I, voisinage de 0, dans M solution de l'équation différentielle :

(F2)

Démontrer l'existence et l'unicité d'une solution de cette équation différentielle en introduisant la fonction inconnue Y définie par la relation :

b. Expliciter la solution obtenue lorsque les deux matrices A et B sont égales : A = B. Préciser l'intervalle J de définition de la solution en fonction des valeurs propres d'une matrice.

c. Résoudre, lorsque l'entier n est égal à 2, l'équation différentielle

X(t) = X(t)² + I₂ ; X(0) = .

Expliciter X(t), préciser son intervalle de définition sachant que a est un réel quelconque.