96 - E. P. M.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : EPREUVE PRATIQUE DE MATHEMATIQUES.

L'énoncé de cette épreuve, commune aux candidats des options M et P', comporte 4 pages.

L'objet de ce problème est de montrer qu'il existe, pour tout entier n strictement positif, deux suites de réels a_i, 0in, et a_i, 0in, tels que, pour tout polynôme P de degré inférieur ou égal à 2n + 1, l'égalité

(E) .

ait lieu. Cette propriété suggère que, si f est une fonction (2n + 2)-fois continûment dérivable sur l'intervalle [-1, 1], le réel I_n(f) défini par la relation I_n(f) = soit une valeur approchée de l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle [-1, 1].

Soit E l'espace vectoriel des polynômes réels. A tout couple (P, Q) de polynômes appartenant à E, associons le réel (P | Q) défini par la relation :

(P | Q) =

Il est admis que l'application (P, Q) (P | Q) de ExE dans R est un produit scalaire. Soit F l'application de ExE dans R définie par la relation :

F(P, Q) = (X.P | Q) = .

Il est admis que l'application F (de ExE dans R) est une forme bilinéaire symétrique.

Dans toute la suite, la lettre n désigne un entier strictement positif et E_n le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n.

Il est admis que l'application (P, Q) (P | Q) de E_nxE_n dans R est un produit scalaire et qu'il existe un endomorphisme j_n de E_n qui, à tout polynôme Q appartenant à E_n, fait correspondre l e polynôme j_n(Q) de E_n vérifiant la relation :

1°) Existence d'une base orthonormée de E_n ( | ) associée à la forme F :

a. Vérifier que l'endomorphisme j_n de l'espace euclidien (E_n,( | )) est symétrique.

b. Exemple : Déterminer, lorsque l'entier n est égal à 2, l'endomorphisme j₂ en recherchant les image des polynômes 1, X et X²; en déduire la matrice associée à l'endomorphisme j₂ dans la base des polynômes 1, X et X². Quelles sont les valeurs propres de cet endomorphisme ?

c. Démontrer l'existence d'une base orthonormée de polynômes e_i, 0in, appartenant à l'espace euclidien (E_n, ( | )) et d'une suite de réels a_i, 0in, tels que, pour tout couple (P, Q) de polynômes appartenant à E_n, la relation ci-dessous ait lieu :

F(P, Q) = .

La base orthonormée (e_i)0in de (E_n, ( | )) est dite associée à la forme bilinéaire F.

d. Démontrer que les réels a_i , pour tout entier i compris entre 0 et n (0 i n), ont une valeur absolue strictement inférieure à 1 : |a_i| < 1.

e. Exemple : dans cette question l'entier n est égal à 1 ; déterminer une base (e₀, e₁) orthonormée de l'espace euclidien (E₁, ( | )) et deux scalaires a₀ et a₁ satisfaisant aux conditions de la question 1°.c ; on pourra d'abord déterminer une base orthonormée constituée de polynômes S₀ et S₁.

2°) Détermination d'une base orthonormée de En, associée à la forme F :

L'espace euclidien (E_n, ( | )) est supposé muni d'une base orthonormée (e_i)0in associée à la forme F. L'existence en a été démontrée ci-dessus. Désignons par a_i le produit scalaire du polynôme constant égal à 1 avec le polynôme e_i : a_i = (1 | e_i).

a. Démontrer la propriété : pour tout entier k, compris entre 1 et n (0kn) et tout entier i compris entre 0 et n (0in) : (X^k | e_i) = (a_i)^k a_i.

En déduire, pour tout polynôme P de E_n et tout entier i compris entre 0 et n (0in), l'expression du produit scalaire (e_i | P) en fonction des réels a_i et P(a_i).

b. Démontrer que pour tout entier i (0in) le produit des réels a_i et e_i(a_i) est différent de 0 (a_i.e_i(a_i) 0). En déduire que les réels a_i, 0in, sont tous différents de 0.

Supposons que les réels a_i , 0in, soient indexés de façon telle que les p premiers (0pn)

soient deux à deux distincts et que tout réel a_j de rang j supérieur strictement à p soit égal à un a_i de rang inférieur ou égal à p (ip). Soit R_n le polynôme défini par la relation :

R_n(x) = .

c. Démontrer, en considérant les produits scalaires (e_i | R_n), que les réels a_i, 0in, sont deux à deux distincts et que le degré du polynôme R_n est n + 1.

Soit j un entier compris entre 0 et n (0 j n) ; désignons par L_j le polynôme défini par la relation : L_j(x) =

d. Démontrer que chaque polynôme L_j est proportionnel au polynôme e_j. Soit k_j la constante de proportionnalité : e_j = k_j L_j. Démontrer les deux relations :

k_j a_j L_j(a_j ) = 1 ; (a_j )² =

En déduire les différentes bases orthonormées de E_n associées à la forme bilinéaire F.

3°) Validité de l'égalité (E) :

Les réels a_i, 0in, et a_i, 0in, sont ceux qui ont été définis précédemment.

a. Démontrer que, pour tout polynôme P de degré inférieur ou égal à 2n + 1, l'égalité

(E)

est vraie. Une méthode consiste à établir d'abord cette relation pour le polynôme constant égal à 1, puis pour les monômes X^k, 0k 2n+1, et enfin pour un polynôme de degré inférieur ou égal à 2n + 1.

b. Démontrer que cette relation (E) est fausse pour tout polynôme de degré 2n + 2.

4°) Détermination du polynôme R_n :

Désignons toujours par R_n le polynôme défini par la relation : R_n(x) =..

a. Soit P un polynôme appartenant à E_n ; calculer le produit scalaire des polynômes P et R_n dans (E, ( | )).

b. Soit U_n un polynôme de degré n + 1 dont le terme de plus haut degré est Xⁿ⁺¹. Supposons qu'il soit orthogonal dans (E, ( | )) à tous les polynômes P du sous-espace vectoriel E_n. Démontrer que ce polynôme U_n est le polynôme R_n. En déduire une caractérisation simple du polynôme R_n et une méthode directe de détermination du polynôme R_n (qui évite de rechercher les réels a_i , 0 i n).

c. Etablir une relation simple entre les polynômes R_n(X) et R_n(-X).

d. Déterminer, lorsque l'entier n est égal à 2, le polynôme R₂ puis les réels a_i, 0 i 2 ; a₀< a₁ <a₂ . En déduire ensuite les polynômes L_i, 0 i 2, puis les réels(a_i)², 0 i 2.

Soit f une fonction réelle définie et continue sur l'intervalle [-1, 1]; étant donné un entier n (n 1), désignons par I_n(f) l'expression ci-dessous :

I_n(f) =

Il est admis que, si la fonction f est (2n+2)-fois continûment dérivable, l'erreur commise en remplaçant la valeur de l'intégrale par I_n(f) peut être évaluée par la relation :

.

||R_n|| désigne la norme du polynôme R_n dans l'espace euclidien (E, ( | )).

5°) Application :

a. Soit f la fonction définie sur [-1, 1] : . Calculer I₂(f) ; comparer le résultat obtenu à la valeur exacte de l'intégrale. Vérifier la précision obtenue en admettant le résultat : .

b. Soit g la fonction définie sur [-1, 1] : . Calculer I₂(g) ; comparer le résultat obtenu à la valeur exacte de l'intégrale. Vérifier la précision obtenue.