f est une fonction de Z dans Z.
f(n) vaut

• n-10 si n>100
• f(f(n+11)) sinon

L'etude sur les nombres supérieurs à 101 est absolûment inintéressante et triviale.
f(101) = 91
Et ça, c'est notable (rigolo?), parce que en fait c'est aussi vrai pour tout n appartenant à ]-,101].
C'est facilement vérifiable sur [DEBUT,101] (pour tout DEBUT inférieur à 101) en utilisant le programme -C- suivant:
#include <stdio.h>
#define DEBUT -30

int f(int n)
{
return (n>100)? (n-10):f(f(n+11));
}

void main(void)
{
int i;
for (i=DEBUT; i< 101; i++)
printf("f(%3d) = %d\n", i, f(i));
}


f(101)=91 par définition

91a100 f(a)=f(f(a+11))=f(a+1)
Donc, par récurrence, a / 91a100, f(a)=91.
En particulier, 91 est un point fixe de f.

Soit 0a90.
La division Euclidienne nous donne:
101-n=11p+a avec 0a10
n=101-11p-a
f(n)=f ^p+1(101-a)
On est retombé dans le cas précédent, donc on peut écrire :
f(n)=f ^p(91)
Qui, comme 91 est point fixe, donne :
f(n)=91

Si n est négatif, alors, comme tous les nombres négatifs sont inférieurs à 100, on est dans le cas f(f(n+11)).
Or, p tel que n+11p soit dans [0,101], et donc, encore une fois f(n)=91.

Le fait que 91 soit point fixe est important, mais n'est pas trivial. En effet, pour le calculer, nous devons passer successivement par f(92), f(93)... jusqu'a f(101)=91.