L'axiomatique de Zermelo-Fraenkel

Le but de cet article est de faire une courte présentation de l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, qui est celle la plus couramment utilisée de nos jours. Nous nous contenterons donc de citer les axiomes avec parfois quelques commentaires, mais le rôle de cet article est uniquement de parer au plus pressé et ne constitue en rien une vraie présentation de ces axiomes. Nous espérons le transformer en un vrai cours lorsque les éléments de logique auront été présentés.

• Premier axiome : Axiome d'extensionnalité.

  (A)( B) [(A = B) (x)(x A x B)]
  

  Cela signifie qu'un ensemble est caractérisé par les éléments qu'il contient.
  

  Définition d'un ensemble par extension : on écrit tous les éléments de l'ensemble.

  Notation : E ={ a, b, c, ..., x }.
  

• Deuxième axiome : Axiome de compréhension ou Axiome de sélection.

  (A)( B)( x) [(x A P(x)) x B]

  (P est une formule portant sur ensemble de x).

  Cela permet de définir de manière unique l'ensemble des éléments de A qui vérifient la propriété P.

  Cet axiome est important car il permet de définir rigoureusement les ensembles par sélection, c'est-à-dire avec une formule. En effet, il ne suffit pas d'écrire {x : P(x)} pour définir un tel ensemble, comme l'a montré Bertrand Russel en 1901.

  Contre-exemple :

  Considérons la propriété P suivante : x x.

  Si on définit alors (sans précautions) l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-même, il vient :

  ( B)( x) [ x B x x]

  On prend alors x = B, et il vient :

  B B B B

  D'où la contradiction...

  On peut ainsi créer d'autres paradoxes comme l'ensemble de tous les ensembles.

  Voir la démonstration.
  

• Troisième axiome : Axiome de la paire.

  ( a)( b)( C)( x) [x C (x = a x = b)]
  

• Quatrième axiome : Axiome de la réunion.

  ( A)( B)( x)[(x B) ( c)((c A) (x c))]
  

• Cinquième axiome : Axiome de l'ensemble des parties.

  ( a)( B)( x)(x B x a)
  

• Sixième axiome : Axiome de fondement ou Axiome de régularité.

  A ( x) [(x A) (x A = )]

  Cet axiome permet en particulier de démontrer que :

  ( x) (x x)

  En effet, supposons qu'il existe A tel que A A.

  Comme A {A}, A A {A}.

  Par l'axiome de fondement, il existe x tel que x {A} et x {A} = .

  Comme x {A}, x = A, donc A {A} = .

  D'où l'absurdité.

  Notons aussi qu'on peut construire une axiomatique qui nie cet axiome.
  

• Septième axiome : Axiome de l'infini.

  ( A) [ A ( x)(x A (x {x}) A )]

  On en déduit alors l'existence de N.
  

• Un dernier axiome joue un rôle important dans l'axiomatique actuelle, c'est l'axiome du Choix. Comme il n'appartient pas à l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel et en raison de son importance, il est l'objet d'un article à part.

  Ouvrir l'article sur l'axiome du choix.

Laurent Schwartz " Analyse I ".