On considère un triangle ABC d'un plan euclidien. On se propose de construire, si c'est possible, un point M tel que la somme des distances MA+MB+MC soit minimale.
- Données :
On identifie le plan à l'ensemble C des nombres
complexes: on munit le plan d'un repère orthonormé
(O;u,v) et à tout point M=O+xu+yv on associe son affixe
z=x+iy.
On note a, b et c les affixes de A, B et C, que l'on suppose non
nulles. On se donne également trois points P, Q et R d'affixes
p, q et r définies par:
p=|a|/a
q=|b|/b
r=|c|/c
- Etude du triangle PQR :
Remarquons d'abord que les point P, Q et R sont situés sur le cercle unité (c'est à dire |p|=|q|=|r|=1).
En effet, on a:
|p|=||a|/a|=|a|/|a|=1
et de même |q|=1 et |r|=1.
Soit H le point d'affixe h=p+q+r. Montrons que H est l'orthocentre du triangle PQR.
En effet, la définition de H par son affixe s'écrit
h-r=p+q. En notant Q' le point d'affixe -q, Il vient
l'égalité vectorielle H-R=P-Q'. Or Q' est le point du
cercle unité diamétralement opposé à Q,
donc le triangle PQQ' est rectangle en P. Les vecteurs P-Q et P-Q'
sont donc orthogonaux; il en est de même des vecteurs P-Q et
R-H, donc H appartient à la hauteur de PQR issue de R. On
montre de même que H est un point de chacune des hauteurs de
PQR; H est donc l'orthocentre de PQR.
- Etude du problème lorsque PQR est équilatéral :
Nous supposerons dans la suite du paragraphe que la relation p+q+r=0 est vérifiée.
Remarquons d'abord que la quantité S=|p(z-a)+q(z-b)+r(z-c)|
ne dépend pas du choix du complexe z. En effet, on a toujours:
S=|(p+q+r)z-pa-qb-rc|=|pa+qb+rc|=||a|+|b|+|c||=|a|+|b|+|c|
Or on a montré que la définition des point P, Q et R
entraine l'égalité |p|=|q|=|r|=1, d'où on
déduit:
S|p||z-a|+|q||z-b|+|r||z-c|=|z-a|+|z-b|+|z-c|
On a donc z
C , |a|+|b|+|c|
|z-a|+|z-b|+|z-c|
Or, en notant M le point du plan d'affixe z, on a
|z-a|+|z-b|+|z-c|=MA+MB+MCOA+OB+OC=|a|+|b|+|c|
La somme MA+MB+MC est donc minimale pour M=O.
- Données du problème :
On se donne un triangle ABC dont aucun des angles ne mesure plus
de 120°.
On veut trouver un repère orthonormal où les points P,
Q et R définis au paragraphe II forment un triangle
équilatéral.
Notons que dans un tel repère les points A, B et C sont tous
d'affixe non nulle (sinon P, Q et R ne sont pas tous trois
définis).
- Remarque concernant la mesure des angles :
Dans la suite de cet article, on prendra comme mesure d'un angle sa mesure "principale" en degrés (c'est à dire sa mesure en degrés dans l'intervalle [0,360], on admet les valeurs 0° et 360° pour l'angle nul). On travaillera toujours "modulo 360°", mais pas systématiquement avec des angles orientés.
- Analyse :
Supposons avoir trouvé un repère (O;u,v) convenable.
Définissons les points P, Q et R comme au paragraphe I: ce
sont les points d'affixes respectives
p=|a|/a
q=|b|/b
r=|c|/c
On a |a|2=a et a
0 donc |a|
0 et p=
/|a|
et de même q=/|b| et r=
/|c|.
De plus, O est l'unique point intérieur au triangle ABC tel
que les angles (OA,OB), (OB,OC) et (OC,OA) aient une mesure de
120°.
En effet, si on suppose l'existence d'un second point O' ayant cette
propriété, alors O' est un point d'intersection des
arcs de cercles GC et GB définis par
GC={M; M intérieur à ABC et (MA,MB)=120°} et
GB={M; M intérieur à ABC et (MA,MC)=120°}.
Or ces arcs de cercles sont des parties respectives de deux cercles
distincts (le premier contient B, pas le second, car on a
supposé (BA,BC)<120°), sécants en A et O; et le
point A est exclu, donc O=O'.
- Construction d'un point O convenable :
C'est à dire: construisons un point O intérieur
à ABC, tel que l'on ait l'égalité des angles:
(OA,OB)=(OB,OC)=(OC,OA)=120°.
On supposera dans la suite que le triangle ABC est direct afin de
pouvoir travailler avec les angles orientés.
Construisons trois triangles équilatéraux ABC', AB'C
et A'BC extérieurs au triangle ABC. Leurs trois cercles
circonscrits, notés respectivement GC,
GB etGA, ont un point commun O, qui est
intérieur au triangle ABC.
Pour montrer cette propriété, noous allons d'abord
montrer que deux quelconques des trois cercles, par exemple
GC et GB, sont sécants, et que leur
second point d'intersection (le premier étant A) est
intérieur à l'angle (AB,AC). Puis nous allons montrer
que ce second point d'intersection appartient au troisième
cercle GA.
Récapitulons: Nous avons montré que les cercles circonscrits aux triangles équilatéraux A'BC, AB'C et ABC' sont concourants, et que le point de concours O est un point intérieur au triangle ABC, tel que (OA,OB)=(OB,OC)=(OC,OA)=120°. O est donc, d'après l'analyse précédente, un minimum de l'application d du plan dans R+ définie par d(M)=MA+MB+MC.
- Construction pratique :
Etant donné un triangle ABC, on construit
extérieurement à ABC trois triangles
équilatéraux A'BC, AB'C et ABC'. On trace leurs cercles
circonscrits, qui sont concourants. Leur point de concours est le
point recherché; c'est le point de Toricelli du
triangle ABC.
- Existe-t-il d'autres minima de la somme MA+MB+MC?
- Que se passe-t-il si l'un des angles du triangle ABC est supérieur à 120°?
Le triangle PQR de la partie II ne peut pas être équilatéral (ça se démontre, mais je n'ai pas encore retrouvé comment...). La construction étudiée dans cet article n'est donc plus valable.