Topologie des espaces vectoriels normés

 

 

Dans tout le chapitre, E désignera un espace vectoriel sur r ou c = k.

 

I) Norme

 

Une application N : E ® r est une norme si et seulement si :

 

Conséquence de l'inégalité triangulaire : N(x - y) ³ | N(x) - N(y) |

La norme est aussi notée | | ...| |

 

(E,N) est un espace vectoriel normé.

 

La distance associée à la norme N est l'application d : E ´ E ® r

(x, y) N(x - y)

 

La boule ouverte de centre x de rayon r (r>0) est : Bo(x, r) = { yÎ E, | | x - y| | < r}

La boule fermée de centre x de rayon r (r>0) est : Bf(x,r) = { yÎ E, | | x - y| | £ r}

Une boule est convexe.

 

Soit AÌ E.

A est bornée si et seulement si { | | x | | , xÎ A } est majorée. Cela équivaut à A est inclus dans une boule. Une union finie de partie bornée est bornée.

On pose : diamètre de A = diam A = sup | | x - y | | , (x, y)Î A2

 

Soit f : A ® F et k³ 0

f est k-lipschitzienne si et seulement si " x, yÎ A, | | f(x) - f(y) | | F £ k | | x - y | | E

f est lipschitzienne sur A si et seulement si il existe k tel que f soit k-lipschitzienne.

Par exemple la norme est 1-lipschitzienne. Si k<1, f est dite contractante.

 

La distance de xÎ E à A est : d(x, A) = inf | | x - a | | , aÎ A

- Si xÎ A, d(x, A) = 0. La réciproque est fausse.

- La borne inf n'est pas toujours un minimum.

- Si c'est un minimum, il peut être atteint en plusieurs points.

 

Norme usuelle :

| | X | | 2 =

| | X | | ¥ =

| | X | | 1 =

La norme 2 est la norme euclidienne sur r, hermitienne sur c.

 

 

II) Convergence des suites

 

Dans un espace de dimension finie, la notion de convergence ne dépend pas de la norme choisie (équivalence des normes).

(un)nÎ En, et lÎ E

 

définition : - (un)n converge vers l si et seulement si " e>0, $ n0Î n, " n>n0, | | un - l | | < e

- (un)n converge si et seulement si il existe l dans E tel que (un)n converge vers l.

- (un)n diverge si et seulement si (un)n ne converge pas Û $ e>0, " n0Î n, $ n>n0, " l, | | un - l | | > e

Si une suite converge, sa limite est unique.

Toute suite convergente est bornée.

 

l est une valeur d'adhérence de (un)n si l est limite d'une suite extraite de (un)n.

Une suite convergente a une unique valeur d'adhérence : sa limite. La réciproque est fausse.

Une suite bornée ayant une unique valeur d'adhérence converge en dimension finie.

 

Théorème de Bolzano-Weierstrass :

En dimension finie, de toute suite bornée, on peut en extraire une suite convergente.

 

La suite (un) est une suite de Cauchy si et seulement si " e>0, $ n0Î n, " n, p³ n0, | un - up| <e

 

Propriétés : - une suite de Cauchy est bornée.

- une suite convergente est de Cauchy.

- si une suite de Cauchy a une unique valeur d'adhérence, alors elle converge.

- un espace normé dans lequel toute suite de Cauchy converge est dit complet.

- les espaces de dimension finie sont complets.

 

 

III) Topologie d'un espace vectoriel normé

 

Il s'agit dans ce paragraphe essentiellement de définitions.

 

O est un ouvert si et seulement si en tout point de O il existe une boule ouverte centré sur ce point et incluse dans O i.e. " xÎ O, $ r>0, B(x, r) Ì O

 

Propriétés : - une union quelconque d'ouverts est un ouvert ;

- une intersection finie d'ouverts est un ouvert ;

- O est un ouvert si et seulement si O est un voisinage de chacun de ses points ;

- O est un ouvert si et seulement si O = ;

- E, Æ sont des ouverts.

 

La topologie d'un espace vectoriel normé est l'ensemble des ouverts de cet espace.

 

V est un voisinage de a si et seulement si il existe une boule ouverte de centre a incluse dans V.

si et seulement si il existe un ouvert inclus dans V et contenant a.

 

Une intersection finie de voisinage de a est un voisinage de a.

 

F est un fermé de E si et seulement si son complémentaire dans E est un ouvert de E.

caractérisation séquentielle : F est fermé si et seulement si toute suite convergente de F converge dans F.

 

Propriétés : - E, Æ et un singleton sont des fermés ;

- une boule fermée est un fermé ;

- une partie finie de E est toujours une partie fermée de E ;

- une intersection quelconque de fermés est un fermé ;

- une union finie de fermés est un fermé ;

- F est fermé Û F =

 

xÎ E est un point intérieur à P si et seulement si P est un voisinage de x.

L'intérieur de P, noté , est l'ensemble des points intérieurs à P.

 

Propriétés : - est le plus grand ouvert inclus dans P ;

- P ouvert Û P = .

 

x est adhérent à P si et seulement si x est limite d'une suite d'éléments de P.

 

Propriétés : - x est adhérent à P si et seulement si " r>0, B(x, r) Ç P ¹ Æ

- x est adhérent à P si et seulement si tout voisinage de x rencontre P

L'ensemble des points adhérents à P, noté , est l'adhérence de P.

Propriétés : - est le plus petit fermé contenant P

- P est fermé Û = P

Si toute boule de centre x rencontre P\{x}, on dit que x est un point d'accumulation de P.

Si il existe une boule de centre x ne rencontrant pas P\{x}, on dit que x est un point isolé de P.

Ces 2 cas sont disjoints et adhérence de P = {point d'accumulation} È {point isolé}

 

Propriétés : x est un point d'accumulation Û x est limite d'une suite non stationnaire d'éléments de P.

Û x est limite d'une suite d'éléments de P\{x}

 

x est un point frontière de P si et seulement si xÎ \

 

A est un compact de E si et seulement si toute suite d'éléments de A a une unique valeur d'adhérence dans A.

caractérisation séquentielle : A est un compact de E si et seulement si de toute suite d'éléments de A, on peut extraire une suite qui converge dans A.

 

Propriétés : - un compact est fermé borné

- en dimension finie, les compacts sont les fermés bornés

- une intersection quelconque de compacts est un compact

- une union finie de compacts est un compact

 

= E i.e. tout élément de E est limite d'une suite d'éléments de A.

 

 

Un produit de compact, d'ouverts ou de fermés est un compact, un ouvert ou un fermé de l'espace produit.

 

Dans les exercices, on utilise surtout les caractérisations séquentielles.

 

 

IV) Normes équivalentes

 

2 normes sont équivalentes si et seulement si elles définissent la même topologie.

 

Théorème :

n et N 2 normes de E.

n et N sont équivalentes si et seulement si $ a, b>0, " xÎ E, a N(x) £ n(x) £ b N(x)

 

Théorème : Dans un espace de dimension finie, les normes sont équivalentes.

 

On peut donc choisir la norme la plus aisée à manipuler en dimension finie.

Les nomes | | ...| | 1, | | ...| | 2, | | ...| | ¥ sont équivalentes.

 

 

 

 

 

 

 

V) Limite d'une fonction

 

Soient E et F 2 espaces vectoriels normés, AÌ E, a un point adhérent à A et lÎ F.

f : A ® F

 

 

Définition :

Û " e, $ a>0," xÎ A, | | x - a | | < a Þ | | f(x) - l | | < e

 

Propriétés : - on peut remplacer les normes de F et de E par des normes équivalentes sans changer la limite.

- si la limite existe, elle est unique.

- si f a une limite en a, alors f est bornée au voisinage de a.

- une limite adhère à l'image

Caractérisation séquentielle :

f tend vers l quand x tend vers a si et seulement si pour toute suite (an)n d'éléments de A convergeant vers a, la suite (f(an)) converge vers l.

f a une limite en a si et seulement si pour toute suite (an)n d'éléments de A convergente, la suite (f(an)) converge.

 

Les opérations sur les limites sont supposées connues.

Le produit d'une fonction bornée par une fonction qui tend vers 0 tend vers 0.

 

 

VI) Continuité

 

On reprend la même fonction f qu'au paragraphe précédent.

 

f est continue en a si et seulement si f tend vers f(a) quand x tend vers a.

f est continue sur A si et seulement si f est continue en tout point de A.

Cela équivaut à :

" e, $ a>0," xÎ A, | | x - a | | < a Þ | | f(x) - f(a) | | < e

Û " V voisinage de f(a), $ U voisinage de a, " xÎ A, xÎ U Þ f(x)Î V

Û " V voisinage de f(a), $ U voisinage de a, f(A Ç U)Ì V

Û " (an)nÎ An,,(an) converge vers a Þ (f(an))n converge vers f(a)

 

Si f admet une limite finie l en a et que f est continue sur A\{a}, f est prolongeable par continuité en a en posant f(a) = l

 

L'ensemble des fonctions continues est un espace vectoriel. Si F = k, c'est une algèbre.

En dimension finie, les applications linéaires et multilinéaires sont continues.

 

Si A est un compact, f(A) est un compact.

 

 

 

 

f admet un maximum et un minimum sur A i.e. f est bornée sur A et atteint ses bornes.

 

Si P est un ouvert (resp. un fermé) de F alors f-1(P) est la trace sur A (= l'intersection avec A) d'un ouvert (resp d'un fermé) de E.

L'intersection avec A d'un ouvert (resp. fermé) de E est un ouvert (fermé) relatif de A.

 

Un ensemble défini par des expressions continues et des inégalités strictes est un ouvert relatif.

Un ensemble défini par des expressions continues et des inégalités larges est un fermé relatif.

 

 

VII) Applications linéaires continues

 

Rappel : en dimension fini, les applications linéaires sont continues.

Théorème : une application linéaire est partout continue ou partout discontinue.

 

- Si f est bornée sur une boule, alors f est continue.

- Si f est continue, alors f est lipschitzienne.

- f est continue sur E Û sup | | f(x)| | /| | x| | < +¥ , x¹ 0. Ce sup est le meilleur rapport de lipschitz de f i.e. le plus petit.

- En dimension >1, si f est continue, f-1 n'est pas forcément continue.

 

L'application f est une norme sur l'espace des fonctions linéaires continues sur E. On l'appelle norme fonctionnelle ou norme triple, notée | | | ...| | | .

Propriété fondamentale : " g, fÎ Lc(E), | | | f o g | | | £ | | | f | | | . | | | g | | | où Lc(E) est l'espace des endomorphismes continues de E.

 

Les applications affines sont continues si et seulement si la partie linéaire de cette application affine est continue. Les applications multilinéaires sont continues en dimension finie.

 

On définit de même la norme triple d'une matrice : | | | A | | | =

" A, B, | | | AB| | | £ | | | A| | | | | | B| | | et " nÎ n, | | | An| | | £ | | | A| | | n

 

 

VIII) Continuité uniforme

 

f : A ® F

 

f est uniformément continue sur A si et seulement si :

" e, $ a>0," x, yÎ A, | | x - y | | < a Þ | | f(x) - f(a) | | < e

Rappel : f est continue sur A si et seulement si :

" yÎ A, " e, $ a>0," xÎ A, | | x - y | | < a Þ | | f(x) - f(a) | | < e

 

 

Dans la continuité uniforme, a ne dépend pas de y alors que dans la continuité simple il dépend du choix de y. Alors que l'on peut parler de continuité en un point, la continuité uniforme n'est définie que sur une partie non réduite à un point.

f uniformément continue Þ f continue.

 

Théorème : les applications lipschitziennes sont uniformément continues.

 

Théorème de Heine : soit f continue sur A. Si A est un compact, f est uniformément continue sur A.

 

IX) Théorème du point fixe

 

f : A ® A A fermé de E

On suppose que f est contractante et que E est complet.

Alors f admet un unique point fixe et toute suite de la forme un+1 = f(un) converge vers ce point fixe.

 

 

 

 

 

 

FIN