Soit E un ensemble.Remarques :
Soit T un ensemble de parties de E.
On dit que T est une topologie sur E, si et seulement si T vérifie les trois axiomes suivants (dits axiomes de topologie) :
T1 : E et
T.
T2 : L'intersection de deux éléments de T appartient encore à T.
T3 : Toute réunion d'éléments de T appartient à T.
- On peut toujours définir une topologie sur un ensemble
quelconque.
On pose en effet T = {, E}. T vérifie alors trivialement
tous les axiomes de topologie.
- Il découle, par récurrence sur l'axiome T2, que
toute intersection finie d'éléments de T appartient
encore à T
Soit E un ensemble.Remarque :
Soit T une topologie sur E.
Les éléments de T sont appelés ouverts de E relativement à la topologie T.
Lorsqu'il n'y a pas de confusion possible, on dit simplement ouvert. Il faut néanmoins se méfier de cette appelation abusive, lorsqu'on travaille sur plusieurs ensemble, en particulier quand ils ont une intersection non vide.
Soit F une partie de E.Remarque
S'il existe O, ouvert de E, tel que F = E\O, alors F est dit fermé de E, relativement à la topologie T.
Lorsqu'il n'y a pas de confusion possible, on dit simplement fermé. Il faut néanmoins se méfier de cette appelation abusive, lorsqu'on travaille sur plusieurs ensemble, en particulier quand ils ont une intersection non vide.
L'ensemble P des fermés vérifie alors les trois propriétés suivantes :
F1 : E et
F2 : L'union de deux éléments de P appartient encore à P.
F3 : Toute intersection d'éléments de P appartient à P.
Voir démonstration
Soit P, un ensemble vérifiant F1, F2, F3.Il est donc équivalent de définir les ouverts ou les fermés de E.
Alors l'ensemble T = {E\F, F
Voir démonstration
Classiquement, on définit d'abord les ouverts.
Soit x
Soit V
On dit que V est un voisinage de x si et seulement s'il existe un ouvert contenant x inclus dans V.
Propriété :
Soit O E.
O est ouvert si et seulement si O est voisinage de tous ses points.
Voir démonstration
Base d'une topologie.
Système de générateurs.
Relation d'ordre dans les topologies.
- Définitions
Soit E un espace topologique.
Soit A E.
A priori, A n'est ni ouvert ni fermé. C'est pourquoi on définit les ensembles suivant qui permettent " d'approcher " ou de " décomposer " A par des fermés et des ouverts dont on connaît plus facilement les propriétés.
Intérieur
On appelle intérieur de A le plus grand des ouverts inclus dans A.
On note cet ensemble : 
.
Remarque :
Cet ensemble existe forcément car est inclus dans A et est un ouvert.
Donc...
Extérieur
On appelle extérieur de A
Adhérence
On appelle adhérence de A le plus petit des fermés qui contiennent A.
On note cet ensemble 
.
Remarque :
Cet ensemble existe forcément car E contient A et est un fermé.
Donc...
Frontière
Relations entre ces différents ensembles.
Points isolés - Points d'accumulation - Ensemble discret
Un ensemble dont tous les points sont isolés est dit discret.
Ensemble dense
Soit A E.
Si on a E 
, A est dit dense dans E.
- Sous-espace topologique
- Espace topologique produit