I. Définitions
II. Propriétés
III. Composantes connexes
IV. Connexes de R
V. Connexité par arcs
VI. Connexité par lignes brisées (dans un R-E.V.N.)
E est dit connexe s'il n'existe pas de partition non triviale de E en deux ouverts.
E est dit connexe s'il n'existe pas de partition non triviale de E en deux fermés.
Voir démonstration
A est connexe si et seulement si, pour tout O1 et O2, ouverts de E, tels que
A O1 O2 et A O1 O2 = ,
on ait :
A O1 = ou A O2 = .
Voir démonstration
De même, si on considère maintenant les fermés de E et non plus les ouverts, il vient la proposition suivante :
Proposition I.2.bis
A est connexe si et seulement si, pour tout F1 et F2, fermés de E, tels que
A F1 F2 et A F1 F2 = ,
on ait :
A F1 = ou A F2 = .
Voir démonstration
Une idée intuitive de la connexité d'un ensemble est le fait que l'ensemble soit " formé d'un seul bloc ", ou plutôt que tous les points soient " connecté " entre eux.
Il faut néanmoins se méfier de cette approche qui
apporte un risque de confusion entre la notion de connexité et celle de
connexité par arcs (cf. chapitre V.).
Proposition II.1
E est connexe si et seulement si toute fonction continue de E vers {0, 1} est constante.
Voir démonstration
Remarque :
L'ensemble {0, 1} est souvent noté D.
Corollaire
E est connexe si et seulement si toute fonction continue de E vers un espace discret est constante.
Voir démonstration
L'image continue d'un connexe est connexe.
Voir démonstration
Proposition II.2
Soit A un espace connexe.
Soit B tel que A B .
Alors B est connexe.Voir démonstration
Remarque :
La proposition précédente démontre que si A est connexe, son adhérence l'est aussi.
Proposition II.3
Soient A et B deux connexes de E.
Supposons que B .
Alors on a :
AB est un connexe.
Voir démonstration
Corollaire
Soient A et B deux connexes de E.
Supposons que .
Alors on a :
AB est un connexe.
Voir démonstration
Proposition II.4
Soit A une partie de E.
Soit C un connexe de E.
Supposons que
Alors on a :
C Fr(A) .
Voir démonstration
On en déduit alors aisément le corollaire suivant, appelé théorème du passage des douanes :
Tout chemin qui joint un point de l'intérieur de A à un point de l'extérieur de a rencontre nécessairement la frontière de A.
Soit A un espace connexe. n'est pas alors
forcément connexe.
Voir contre-exemple
De même, la réunion de deux connexes quelconques,
comme leur intersection, n'est pas toujours un connexe.
Voir contre-exemples
Il existe néanmoins quelques résultats sur la connexité
d'une union de connexes :
Proposition II.5
La réunion de deux connexes d'intersection non vide est connexe.
Voir démonstration
Corollaire II.5.1
Soit (Ai)iI une famille de connexes telle que
i0 I / i I, Ai Ai0 .
Alors
est connexe
Voir démonstration
Corollaire II.5.2
Soit (Ai)iI une famille de connexes telle que
.
Alors
est connexe
Voir démonstration
Corollaire II.5.3
Soit (Ai)iI une famille au plus dénombrable de connexes telle que
i I*, Ai-1Ai .
Alors
est connexe
Voir démonstration
Proposition II.6
Soient A et B deux parties de E non vides.
AxB est connexe si et seulement si A et B sont deux connexes.
Voir démonstration
On généralise alors la démonstration par
récurrence pour obtenir la proposition suivante :
Proposition II.7
Soient (Ei)1in n ensembles non vides. E = est connexe si et seulement si les Ei sont des connexes.
x R y si et seulement s'il existe un connexe C de E tel que x C et y C.
Cette relation est une relation d'équivalence.
Voir démonstration
Pour tout élément x de E, on note Cx sa classe, appelée composante connexe de x.
On remarque que si E est connexe, il n'y a qu'une seule composante
connexe ; ce cas n'est donc pas très intéressant.
Proposition III.1
Soit x E.La composante connexe de x est le plus grand connexe de E contenant x.
C'est-à-dire :
Cx =
Voir démonstration
Proposition III.2
Soit x E.
La composante connexe de x est un fermé.
Voir démonstration
Corollaire
S'il n'y a qu'un nombre fini de composantes connexes, elles sont à la fois ouvertes et fermées.
Voir démonstration
R est connexe.
Voir démonstration
Nous allons maintenant déterminer les connexes de R.
Les connexes de R sont exactement les intervalles de R.
Voir démonstration
Cette proposition permet de démontrer de manière
élégante le théorème des valeurs intermédiaires.
En effet, l'image continue d'un intervalle de R,
donc un connexe, sera, d'après le théorème
de Bolzano, un connexe de R, donc
un intervalle.
Voir cours sur le théorème des valeurs intermédiaires
Soient A et B deux éléments de E.
On dit que f est un chemin reliant A à B si
f :
avec f continue et f(0) = A et f(1) = B.
On a alors f([0, 1]) est une partie connexe de E.
Définition :
Soit A une partie de E.
On dit que A est connexe par arc si et seulement si
(x, y) A², f, chemin reliant x à y.
On cherche à établir les liens qui existent entre
les ensembles connexes et ceux connexes par arcs.
Proposition V.1
Soit E un espace connexe par arcs.Alors E est connexe.
Voir démonstration.
La réciproque est par contre fausse, comme le montre les
deux contre-exemples suivants :
C = . Voir démonstration
C = . Voir démonstration
Il existe néanmoins des conditions dans lesquelles ces
définitions sont équivalentes :
Proposition V.2
Soit A une partie connexe de E ouverte. (dans un E.V.N ?)
Alors A est connexe par arc.
Voir démonstration