• Soit E un espace topologique.
  On dira que E est connexe si les seules parties à la fois ouvertes et fermées de E sont et E.
  

• Définitions équivalentes :
  
  Proposition I.1
  

  E est dit connexe s'il n'existe pas de partition non triviale de E en deux ouverts.
  E est dit connexe s'il n'existe pas de partition non triviale de E en deux fermés.
  
  Voir démonstration
  

• Partie connexe d'un ensemble
  Le but de ce paragraphe est de déterminer si une partie A de E est connexe ou non, pour la topologie induite.
  Proposition I.2
  

  A est connexe si et seulement si, pour tout O₁ et O₂, ouverts de E, tels que
  A O₁ O₂ et A O₁ O₂ = ,
  on ait :
  A O₁ = ou A O₂ = .
  
  Voir démonstration

  De même, si on considère maintenant les fermés de E et non plus les ouverts, il vient la proposition suivante :

  Proposition I.2.bis
  

  A est connexe si et seulement si, pour tout F₁ et F₂, fermés de E, tels que
  A F₁ F₂ et A F₁ F₂ = ,
  on ait :
  A F₁ = ou A F₂ = .
  
  Voir démonstration

  Une idée intuitive de la connexité d'un ensemble est le fait que l'ensemble soit " formé d'un seul bloc ", ou plutôt que tous les points soient " connecté " entre eux.

  Il faut néanmoins se méfier de cette approche qui apporte un risque de confusion entre la notion de connexité et celle de connexité par arcs (cf. chapitre V.).
  

• Caractérisation

  Proposition II.1

  E est connexe si et seulement si toute fonction continue de E vers {0, 1} est constante.
  
  Voir démonstration
  Remarque :
  L'ensemble {0, 1} est souvent noté D.
  

  Corollaire
  

  E est connexe si et seulement si toute fonction continue de E vers un espace discret est constante.
  Voir démonstration
  

• Théorème de Bolzano
  

  L'image continue d'un connexe est connexe.
  Voir démonstration
  

• Propriétés

  Proposition II.2

  Soit A un espace connexe.
  Soit B tel que A B .
  Alors B est connexe.

  Voir démonstration

  Remarque :

  La proposition précédente démontre que si A est connexe, son adhérence l'est aussi.

  Proposition II.3

  Soient A et B deux connexes de E.

  Supposons que B .

  Alors on a :

  AB est un connexe.
  

  Voir démonstration
  

  Corollaire
  

  Soient A et B deux connexes de E.

  Supposons que .

  Alors on a :

  AB est un connexe.
  

  Voir démonstration
  
  

  Proposition II.4

  Soit A une partie de E.

  Soit C un connexe de E.

  Supposons que

  Alors on a :

  C Fr(A) .
  

  Voir démonstration
  

  On en déduit alors aisément le corollaire suivant, appelé théorème du passage des douanes :

  Tout chemin qui joint un point de l'intérieur de A à un point de l'extérieur de a rencontre nécessairement la frontière de A.

  
  

• Attention aux idées trop faciles :
  

  Soit A un espace connexe. n'est pas alors forcément connexe.
  

  Voir contre-exemple
  

  De même, la réunion de deux connexes quelconques, comme leur intersection, n'est pas toujours un connexe.
  

  Voir contre-exemples
  

  Il existe néanmoins quelques résultats sur la connexité d'une union de connexes :
  

• Union de connexes
  

  Proposition II.5
  

  La réunion de deux connexes d'intersection non vide est connexe.
  

  Voir démonstration
  

  Corollaire II.5.1
  

  Soit (A_i)_iI une famille de connexes telle que

  i₀ I / i I, A_i A_i0 .

  Alors

  est connexe
  

  Voir démonstration
  

  Corollaire II.5.2
  

  Soit (A_i)_iI une famille de connexes telle que

  .

  Alors

  est connexe
  

  Voir démonstration
  

  Corollaire II.5.3
  

  Soit (A_i)_iI une famille au plus dénombrable de connexes telle que

  i I*, A_i-1A_i .

  Alors

  est connexe

  Voir démonstration
  

• Produit d'espaces connexes
  

  Proposition II.6
  

  Soient A et B deux parties de E non vides.

  AxB est connexe si et seulement si A et B sont deux connexes.
  

  Voir démonstration
  

  On généralise alors la démonstration par récurrence pour obtenir la proposition suivante :
  

  Proposition II.7
  

  Soient (E_i)_1in n ensembles non vides. E = est connexe si et seulement si les E_i sont des connexes.
  

• Proposition IV.1
  

  R est connexe.
  

  Voir démonstration
  

  Nous allons maintenant déterminer les connexes de R.
  

• Proposition IV.2
  

  Les connexes de R sont exactement les intervalles de R.
  

  Voir démonstration
  

• Théorème des valeurs intermédiaires
  

  Cette proposition permet de démontrer de manière élégante le théorème des valeurs intermédiaires. En effet, l'image continue d'un intervalle de R, donc un connexe, sera, d'après le théorème de Bolzano, un connexe de R, donc un intervalle.
  

  Voir cours sur le théorème des valeurs intermédiaires
  

V. Connexité par arcs

• Chemin reliant deux points

  Soient A et B deux éléments de E.

  On dit que f est un chemin reliant A à B si
  f :
  avec f continue et f(0) = A et f(1) = B.
  On a alors f([0, 1]) est une partie connexe de E.
  

• Connexité par arc

  Définition :

  Soit A une partie de E.
  On dit que A est connexe par arc si et seulement si
  (x, y) A², f, chemin reliant x à y.
  

• Propriétés

  On cherche à établir les liens qui existent entre les ensembles connexes et ceux connexes par arcs.
  

  Proposition V.1
  

  Soit E un espace connexe par arcs.

  Alors E est connexe.
  Voir démonstration.

  La réciproque est par contre fausse, comme le montre les deux contre-exemples suivants :
  

  C = . Voir démonstration

  C = . Voir démonstration
  

  Il existe néanmoins des conditions dans lesquelles ces définitions sont équivalentes :
  

  Proposition V.2
  

  Soit A une partie connexe de E ouverte. (dans un E.V.N ?)

  Alors A est connexe par arc.
  

  Voir démonstration