Suite de fonction

 

 

 

Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie.

 

I) Convergence des suites de fonctions

 

Soit (fn)n une suite de l'espace vectoriel des fonctions bornées.

(fn)n converge uniformément vers f si et seulement si " e>0, $ n0Î n, " n>n0, | | fn - f| | <e

Dans la pratique, on utilise la définition suivante :

(fn)n converge uniformément vers f si et seulement si sup | | fn - f| | est borné et tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

 

Pour étudier la convergence simple, on fixe x et on fait tendre n vers l'infini. Par exemple :

fn(x) = x + exp(-nx) converge vers f(x) = x pour x³ 0, diverge pour x<0.

Pour étudier la convergence uniforme, on majore la suite | | fn - f | | par une suite indépendante de x et qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini (cela équivaut à un passage au sup). Exemple :

| fn (x) - f(x) | = | x + exp(-nx) - x | = exp(-nx) £ exp(-na) pour x³ a, a>0.

Donc (fn) converge uniformément vers f sur [a, +¥ [,a>0 (mais pas sur [0, +¥ [).

La convergence uniforme entraîne la convergence simple.

Il faut toujours commencer par étudier la convergence simple puisque l'étude de la convergence uniforme impose de connaître f.

Si (fn) converge uniformément vers f sur A1 et A2 alors (fn) converge uniformément vers f sur A1È A2. On peut généraliser à une union finie.

 

II) Les théorèmes généraux

 

fn : AÌ r® r

alors :

- (ln)n converge vers l

- la limite de f en a existe et vaut l

- (f 'n)n converge simplement vers une fonction g sur A, la convergence étant uniforme sur tout compact inclus dans A

- $ aÎ A, (fn(a))n converge

alors : -(fn) converge simplement vers une fonction f sur A, la convergence étant uniforme sur tout compact inclus dans A

- f est C1 sur A et f ' = g

FIN




Première version : 01/03/98
Auteur : Frédéric Bastok e-mail :fred_bastok@bugss.org)
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