I. Définition
II. Développement
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On définit la moyenne arithmético-géométrique,
ou moyenne de Gauss ,ainsi :
Soient a et b, deux nombre réels vérifiant
0<b<a
On définit deux suites an et bn par
a0 = a b0 = b et
On définit aussi 
,
qui représente la " Distance ", et
qui permet de mesurer la rapidité de convergence.
Cela signifie que on prends la moyenne arithmétique
et la moyenne géométrique de tout couple (an,
bn ) pour construire (an+1, bn+1
). D'où le nom.
Grâce à l'inégualité de
la moyenne nous savons que 
.
L'inégalité de la moyenne est le fait
que : 
et se démontre facilement,
en écrivant que 
La suite a est est décroissante et la suite
b est croissante. Car an+1<( an+
an)/2= an, et 
La 'mesure' c vérifie la propriété :
On en déduit que 
,
et que donc, la suite c tends EXPONENTIELLEMENT vers 0. Ce qui
est une convergence 'rapide'.
Les suites a et b sont donc adjacentes et convergent
vers une limite commune, qu'on note M(a,b), et qui est par définition
la moyenne de Gauss de a et b.
- Divers
Si vous voyez un jour " AGM "
dans un article en anglais, il s'agit de l'arithmetic-geometric
mean, ou moyenne arithmético-géométrique !
- Autres articles
La moyenne de Gauss permet de donner une méthode
extrêmement pratique pour calculer les intégrales
elliptiques.
Ouvrir l'article sur les intégrales elliptique
Elle est aussi utilisée de manière
brillante dans un algorithme pour calculer un grand nombre de
décimales de Pi. C'est lié a son utilité
dans l'article précédent, d'ailleurs.
Ouvrir l'article sur l'algorithme de Gauss-Salamin