(somme partielle d'ordre n).Séries de fonction
I) les différentes convergences
Soit E un espace vectoriel normé complet, A une partie d'un espace vectoriel normé.
On pose : " n, un : A® E. On s'intéresse à la série de fonctions å un et on pose :
"
xÎ
A, Sn(x) = (somme partielle d'ordre n).
(Sn) est une suite de fonctions donc on va pouvoir appliquer la théorie du chapitre correspondant.
La convergence simple (resp. uniforme) de la série [un] équivaut à la convergence simple (resp. uniforme) de la suite (Sn).
Proposition : si la série [un] converge uniformément sur A alors la suite (un) converge
uniformément vers 0 sur A.
Remarque : lorsqu'une série converge, on ne précise pas vers quoi puisque qu'elle converge
vers sa somme.
Proposition : [un] converge uniformément sur A si et seulement si [un] converge simplement et
(Rn) converge uniformément vers 0 sur A. (§)
On peut maintenant donner la définition d'un nouveau type de convergence : la convergence normale.
Définition : on note | | un | | ¥ =sup | | un | | s'il existe dans r.
[un] converge normalement sur A si et seulement si " n, un est bornée sur A et
[ | | un | | ¥ ] converge.
Pour prouver la convergence normale d'une série, on majore (en valeur absolue) le terme général de la série par le terme général d'une série convergente indépendante de x.
Exemple : | cos(nx)/n2 | £ 1/n2 . Or [1/n2] est une série convergente, indépendante de x d'où la
convergence normale de [cos(nx)/n2] ( ici sur r).
Si une série converge normalement, alors elle converge uniformément, simplement et absolument.
En conséquence pour prouver la convergence uniforme d'une série, on cherche à montrer la convergence normale sauf si la série est alternée.
Théorème de convergence uniforme pour les séries alternées :
Ce sont les séries du type [ (-1)n un].
On suppose que " xÎ A, (un(x)) est suite décroissante tendant vers 0.
Alors [ (-1)n un] converge simplement sur A.
Pour étudier la convergence uniforme :
On rappelle que " xÎ A, " n, | Rn(x) | £ un+1(x)
On essaye de majorer un+1 par une suite indépendante de x et tendant vers 0 ce qui
permet d'appliquer la proposition (§).
II) Propriétés de la somme d'une série
On pose S(x) = 
, aÎ
- [ln]n converge
- la limite de S en a existe et vaut 
sur [a, b] alors 
- [u 'n]n converge simplement vers une fonction g sur A, la convergence étant uniforme sur tout compact inclus dans A
- $ aÎ A, [un(a)]n converge
alors : -[un] converge simplement sur A, la convergence étant uniforme sur tout compact
inclus dans A
- S est C1 sur A et S '(x) = 
FIN