Ce sont des séries du type å a_n xⁿ où xÎ r ou c et a_n une suite de complexes.

Bien entendu, les résultats du chapitre sur les séries de fonction s'appliquent mais les séries entières ont certaines propriétés particulières, ce qui justifie un chapitre spécial. C'est notamment un moyen très puissant pour construire de nouvelles fonctions.

On appelle R le rayon de convergence de la série entière i.e. R est tel que pour tout x de module strictement inférieure à R, la série entière converge.

{zÎ c, | z | <R} est le disque ouvert de convergence.

] -R, R[ est l'intervalle ouvert de convergence.

Remarquons tout de suite un résultat fondamental : a priori, on ne sait pas si la série entière converge ou non sur le bord du disque de convergence (si on est dans c) ou aux bornes de l'intervalle de convergence (si on est dans r).

Lemme d'Abel :

Soit une série entière å a_n zⁿ . Si pour un z₀ de c\{0}, (an z₀ⁿ)_n est une suite bornée alors

" zÎ c, | z| < | z_0| , å a_n zⁿ converge absolument.

Conséquence :

- si R=+¥ , la série converge pour tout z.

- si | z| > R, la série diverge grossièrement.

- R = sup {| z| , zÎ c/ [a_n zⁿ] converge absolument}

= sup {| z| , zÎ c/ [a_n zⁿ] converge }

= sup {| z| , zÎ c/ (a_n zⁿ) soit bornée}

= sup {| z| , zÎ c/ (a_n zⁿ) converge vers 0}

Règle de D'Alembert :

Si $ n₀, " n³ n₀, a_n¹ 0 et si | a_n+1/a_n | ® m alors R = 1/m.

Si m=+¥ , R=0 donc la série diverge tout le temps.

Si m=0, R=+¥ donc la série converge tout le temps.

Une série entière converge normalement donc uniformément sur tout compact inclus dans le disque ouvert de convergence ( = D).

On pose S(z) = . S est définie sur D.

On en déduit les théorèmes suivants :

- S est continue sur D

- pour une série entière de rayon de convergence non nul, la somme de la série admet un développement limité à tout ordre obtenu en tronquant la série

- si = pour tout z dans une partie ayant 0 comme point d'accumulation, alors " n, a_n = b_n

Théorème de dérivation :

- une série entière et la série des dérivées ont même rayon de convergence.

- l'application x est C¹ sur ]-R, R[. Sa dérivée s'obtient par dérivation terme à terme : ()' =

- en fait, l'application x est C¥ sur ]-R, R[. Les dérivées successives s'obtiennent par dérivation terme à terme successives et les séries obtenues ont pour rayon de convergence R.

Théorème d'intégration :

- les séries entières å a_n zⁿ et å a_n zⁿ⁺¹/(n+1) ont même rayon de convergence.

- les primitives de x sur ]-R, R[ s'obtiennent par intégration terme à terme.

- on peut intégrer terme à terme une série sur tout segment inclus dans l'intervalle ouvert de convergence.

Soit f une fonction définie au voisinage de 0 sur r ou c à valeurs complexes.

On dit que f est développable en série entière au voisinage de 0 si et seulement si f est somme d'une série entière au voisinage de 0.

Si f est développable en série entière au voisinage de 0 alors le développement est unique et

" n, a_n = f⁽ⁿ⁾(0)/n! avec f(x) =

Si f est développable en série entière alors f est C¥ au voisinage de 0.

Pour une fonction f C¥ au voisinage de 0, la série [(f⁽ⁿ⁾(0)/n!) xⁿ] est la série de Taylor de f en 0

Pour montrer qu'une fonction est développable en série entière, on essaye de se ramener à des développements connus (sinon ce n'est pas évident ...) ou chercher une équations différentielle. Il faut connaître les rayons de convergence des séries usuelles.

Attention : la composition modifie en général les rayons de convergence et est donc à éviter le plus possible.

Détaillons un peu la méthode des équations différentielles (qui est la plus utile).

Si on a une fonction f dont cherche un développable en série entière, on calcule les dérivées successives jusqu'à ce que l'on puisse en déduire une équation différentielle dont f est solution. Ensuite on cherche une solution de cette équation développable en série entière. On obtient alors souvent une formule de récurrence pour les coefficients du développements puis par unicité de la solution de l'équation différentielle, on en déduit le développement de f.

Un exemple pour plus de clarté :

Développer h(x) =

® h est C¥ sur r et :

" xÎ r, h'(x)/h(x) = (dérivée logarithmique !) et en redérivant après avoir supprimer les fractions : 2(x² + 1) h''(x) + 2x h'(x) = h'(x) = h(x)/2 donc h est LA solution de :

(*) 4(x² + 1)y'' + 4x y' - y = 0 telle que y(0)=1 et y'(0) = ½

Si y est une solution de (*) développable en série entière de rayon de convergence R non nul, on a : " xÎ ]-R, R[, y(x) = , y'(x) = ,y''(x) =

Soit en substituant dans (*) :

+ + - = 0 soit en réindexant :

+ + - = 0 d'où :

+ = 0 soit : = 0

Donc " n, a_n+2 = a_n . Pour déterminer le rayon de convergence de cette série, on ne peut pas appliquer la règle de D'Alembert pour les séries entières (car un terme sur deux est nul) de façon brutal mais c'est possible si on sépare les termes paires et les termes impaires. Les 2 séries obtenues ont pour rayon de convergence 1 donc la série a pour rayon de convergence R=1 (la convergence est acquise pour | x| < 1 et la divergence est triviale pour | x| > 1) (sommation de séries : voire le paragraphe suivant).

En tenant compte des valeurs initiales, il vient :

" xÎ ]-1, 1[, h(x) = avec :

" k, a_2k = , a_2k+1 =

OUF!!

Soient 2 séries entières de rayon de convergence respectifs R et R'.

Le rayon de convergence de la série somme est R''.

On a R'' ³ min (R, R'). Si de plus R¹ R', alors R''= min (R, R').

La somme de 2 fonctions développable en série entière est développable en série entière.

Le produit par un scalaire ne modifie pas le rayon de convergence.

Le rayon de convergence de la série produit est R''.

On a R'' ³ min (R, R'). On ne peut pas l'améliorer.

Le produit de 2 fonctions développables en série entière est développable en série entière.