E désigne un espace vectoriel de dimension finie (ou plus généralement complet).

Rappel des grandes étapes de cette construction :

• On dit qu'une fonction f définie sur ]a, b[ est en escalier s'il existe un partage

• On définit l'intégrale d'une fonction en escalier, noté

= g_i avec f| _{]xi, xi+1[} = g_i

• On montre que l'intégrale ainsi définie vérifie les propriétés habituelles notamment la relation de Chasles.
• On montre que toute fonction continue par morceaux peut être approchée uniformément par une fonction en escalier.
• On peut alors définir l'intégrale d'une fonction continue par morceaux :

si (g_n)_n est une suite de fonction en escalier qui converge uniformément vers f, alors on montre que la suite des intégrales de g_n converge et on pose : = lim

L'intégrale ainsi définie a toutes les propriétés connues : positivité, croissance, linéarité, relation de Chasles.

Propriétés :

• | | | | £ £ (b - a) | | f | | ¥
• 

• Somme de Riemann :

On montre que

Exemple :

• inf f £ £ sup f
• $ cÎ [a, b], f(c) =
• Si f et g sont continues et g ³ 0 alors $ cÎ [a, b], = f(c)
• Inégalité de Cauchy-Schwarz : f et g continue par morceaux.

avec égalité si et seulement si f et g sont proportionnelles.

La fonction F définit par F(x) = est continue sur I où I est l'intervalle sur lequel f est continue par morceaux. F est dérivable là où f est continue.

Si f est de classe C^p alors F est de classe C^p+1 .

Il y a 2 méthodes de calcul principale des primitives : le changement de variable et l'intégration par parties qui sont supposées connues.

Application : Formule de Taylor avec reste intégrale.

f de classe Cⁿ⁺¹ sur [a, b].

f(b) = f(a) + (b - a) f '(a) + (b - a)² f '(a)/2! +...+ (b - a)ⁿ f⁽ⁿ⁾(a)/n! +

Il est indispensable de connaître les primitives usuelles.