Intégrale à paramètre
I) Généralités
Soit f : [a, b] X A ® E où A est une partie d'un espace vectoriel normé de dimension finie.
On pose : g(x) = sous réserve d'existence.
Théorèmes :
- si pour xÎ A, t f(t, x) est continue par morceaux sur [a, b] alors g existe.
- si f est continue sur [a, b] X A alors g est continue sur A.
Attention : il s'agit de la continuité au sens des fonctions de plusieurs variables et on
rappelle que la continuité partielle n'entraîne pas la continuité.
- si g existe et est continue sur A, si ¶ f/¶ x existe et est continue sur [a, b] X A alors g est C1 sur A et " xÎ A, g'(x) = . Il ne faut pas croire que si g est dérivable sans les hypothèses du théorème alors g' se calcule par la formule donnée. Par récurrence, on définit les dérivées successives ... ou on utilise le théorème suivant.
- si f, ¶ f/¶ x, ¶ 2f/¶ x2, ..., ¶ nf/¶ xn existe et sont continues sur [a, b] X A alors g est Cn sur A et " k£ n : g(k)(x) =
- Théorème de Fubini :
f : [a, b] X [c, d]® E continue sur le pavé.
Alors existent et sont égales.
II) Notion d'intégrale impropre à paramètre
On va étudier un exemple en l'absence de théorie ( du moins au programme de Math. Spé.) tiré d'un sujet d'oral du concours Mines-Ponts. L'idée est de considérer une suite de fonction où n est à l'une des bornes (voire les 2 si l'intégrale est doublement impropre) pour pouvoir appliquer les théorèmes précédents puis appliquer la théorème de dérivation des suites de fonction.
Soit f : x . Etudier f.
® - ensemble de définition : " xÎ r, | exp(-t2) cos (xt) | £ exp(-t2) donc la convergence absolue de l'intégrale en résulte. f est définie sur r.
- posons g(x, t) = exp(-t2) cos(xt) et pour n³ 1, fn(x) =
- g est continue sur r X [0, n], admet une dérivée partielle par rapport à x continue sur
cette même bande avec ¶ g/¶ x = - t.exp (-t2) sin (xt) . Par conséquent, fn est C1 sur r et
f 'n(x) =
Si on pose h(x) = (il ne faut pas oublier d'en vérifier l'existence qui
est ici triviale - négligeabilité devant 1/t2), on a :
" xÎ r, | f 'n(x) - h(x) | = | | £
£
Or le dernier terme est indépendant de x et tend vers 0 quand n tend vers l'infini comme
reste d'une intégrale convergente donc (f 'n)n converge uniformément sur r vers h (la
convergence simple est évidente) ce qui prouve que f est de classe C1 sur r et que
f '(x) = h(x). On prouve facilement que f est C¥ et ici on peut même expliciter f grâce à
une équation différentiel du 1er ordre mais c'est une autre histoire... .
Remarque : ici on avait la convergence uniforme sur r tout entier mais la convergence
uniforme sur tout compact suffit.
FIN
Première version : 01/03/98
Auteur : Frédéric Bastok
e-mail :fred_bastok@bugss.org)
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