I. Introduction
II. Etude de deux cas particuliers
- Zêta de deux
- Zêta de quatre
III. Cas général
- Notations
-Etudes des fonctions C et S
- Formule de Zêta de 2m
- Simplification
- Calcul effectif

Cet article a pour but de trouver une formule donnant formellement la valeur exacte de la fonction Zêta en certain points : les entiers pairs strictement positifs.

Il s'agit de la généralisation de la méthode utiliser pour calculer Zêta de deux en utilisant la théorie des séries de Fourrier.

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II. Etude de deux cas particuliers

- Zêta de deux

On étudie la fonction continue, 2-périodique, dont la restriction sur [-,+] coïncide avec la fonction valeur absolue.

La fonction est donc paire, les coefficients b_n de Fourrier sont donc nuls, le calcul des coefficients a_n donne :

donc pour n paire, le coefficient est nul.

On en déduit :

On observe alors que : 1

On aboutit donc au résultat suivant :

- Zêta de quatre

On procède par analogie, en étudiant cette fois la fonction continue, 2-périodique, dont la restriction sur [-,+] coïncide avec la fonction valeur absolue au cube.

La fonction est toujours paire.

Les deux séries partielles convergent absolument (séries de Riemann), on peut

donc écrire :

et

Donc :

On aboutit alors à :

III. Cas général

- Notations

Nous allons garder n pour les calculs, on essaye donc de calculer Zêta de 2m. Pour cela, étudions, par analogie avec les précédents exemples, la fonction continue, 2-périodique, dont la restriction sur [-,+] coïncide avec la fonction . Les coefficients b_n de Fourrier sont toujours nuls. On appelle les coefficients a_n de Fourrier de cette fonction.

-Etudes des fonctions C et S

On définit :

On vérifie aisément que :

Il s'ensuit les relations de récurrence directes :

On défini alors, pour simplifier (Si j'ose dire !)

Ce qui donne

On note par ailleurs que :

On défini alors l'égalité L_k par :

L_k :

On veut que, en additionnant ces égalités pour k variant de 3 à m, il y ait télescopage, on définit donc le coefficient

et on fait le télescopage

On simplifie les coefficients :

On opère un changement d'indice l=m-k+1 pour la somme :

Remarquez que l'on a regroupé ce qui dépends de n.

Là, on a besoin d'une petite formule facile à démontrer :

On a donc trouver une expression de ls somme des C(n,2m-1) qui va nous permettre de calculer la somme des coéfficients de Fourrier de la fontion étudiée.

- Formule de Zêta de 2m

Si on se rappelle bien, on avait et

On a alors :

Ce qui donne, d'après le paragraphe précédent :

On obtient alors la formule donnant Zêta de 2m en fonction des Zêta de 2l, l<m :

On vérifie aisemment qu'en faisant m=1, ou m=2 on obtient bien et

On remarque également qu'on a ainsi prouvé que est un rationnel, c'est en effet vrai au rang 2 et 4, d'après l'introduction, et par récurrence de deuxième espèce pour le cas général.

- Simplification

Cette formule, bien qu'exact, n'est pas très pratique à utiliser. Voyons comment en simplifier l'utilisation.

On peut tirer de la formule, la suivante :

et donc, en posant

Admettons que les A(m) sont plus facile à calculer.

Si quelqu'un trouve quelque chose de plus à faire, il a le droit de m'écrire, mon adresse est à la fin de l'article !

- Calcul effectif

J'ai utilisé Maple V, pour effectuer les calculs. Donnons déjà les premières valeurs de Dzêta(2m) à votre légitime impatience :

Comme on le voit, Zêta(2m) n'est pas de la forme pi^2m/a avec a entier.

On sait d'après l'introduction que A(1)=1/6.

Les fonctions (Maple) suivantes :

f:=proc(m) 2^(1-2*m)-1 end;C:=proc(n,p) n!/(p!*(n-p)!) end;

B:=proc(m) sum('C(2*m,2*l)*a[l]', 'l'=1..(m-1)) end;

D:=proc(m) f(m)/(f(m)-1)*(1/2-B(m)) end;

permettent de calculer le coéfficient A(m) en fonctions des précédents, qui sont stockés dans un tableau a[].

(Par exemple, ici, vous avez les 7 premières valeurs)

a:={1/6,-7/30,31/42,-127/30,2555/66,-1414477/2730,57337/6};

La fonction d :

d:=proc(l) D(l)*pi^(2*l)*(-1)^l/f(l)/(2*l)! end;

permet alors de calculer Zêta(2m)=d(m)

Le programme complet sous Maple V donne donc :

> a:={1/6,-7/30,31/42,-127/30,2555/66,-1414477/2730,57337/6};
> f:=proc(m) 2^(1-2*m)-1 end;C:=proc(n,p) n!/(p!*(n-p)!) end;
> B:=proc(m) sum('C(2*m,2*l)*a[l]', 'l'=1..(m-1)) end;
> D:=proc(m) f(m)/(f(m)-1)*(1/2-B(m)) end;
> d:=proc(l) D(l)*pi^(2*l)*(-1)^l/f(l)/(2*l)! end;
> d(1);d(2);d(3);d(4);d(5);d(6);d(7);