Enoncé:
Soit (G,+) un groupe quelconque. Soient x et y deux
éléments de G. Alors -(x+y)=(-y)+(-x).
Démonstration:
(x+y)+((-y)+(-x))=x+((y+(-y))+(-x))=x+(0+(-x))=x+(-x)=0
((-y)+(-x))+(x+y)=(-y)+(((-x)+x)+y)=(-y)+(0+y)=(-y)+y=0
Enoncé:
Soient (G,+) et (H,*) deux groupes; soit f un morphisme de
groupes de G dans H.
- f(0G) = 0H
- xG , f(-x) = -f(x)
Démonstration:
- Soit x un élément quelconque de G.
f(x) = f(x+0G) = f(x) +
f(0G)
f(0G) = f(x) - f(x) =
0H
- f(x) + f(-x) = f(x-x) =
f(0G) = 0H donc f(-x) =
-f(x)
Enoncé:
Si (G,+) et (H,*) sont deux groupes quelconques, et si f
est un isomorphisme de G sur H, alors f-1 est un
isomorphisme de H sur G.
Démonstration:
Si f est un isomorphisme, alors f est une bijection,
donc f-1 aussi. Il suffit de montrer que
f-1 est un morphisme de groupes.
Soient x et y deux éléments quelconques de H. On a
alors:
f(f-1(x)+f-1(y)) =
f(f-1(x)) +
f(f-1(y)) = x + y
D'où:
f-1(x) + f-1(y) =
f-1(x+y)
f-1 est donc un isomorphisme de groupes de H sur G.
Enoncé:
Un morphisme de groupes est injectif si et seulement si son noyau
est réduit à l'élément neutre.
Démonstration:
Soient (G,+) et (H,*) deux groupes et f un morphisme de G
dans H.
- Si f est injectif, alors 0H n'admet qu'un
seul antécédent; c'est 0G.
- Supposons kerf réduit à 0G.
Soient x et y deux éléments de G ayant la même
image z par f. Alors f(x-y) = f(x) -
f(y) = z - z = 0H, donc x - y = 0G,
c'est à dire x = y. Donc f est injectif.
Enoncé:
Soit (Gi,+i)iI une
famille de groupes. On note G l'ensemble produit Gi et + la loi de composition interne sur G
définie par x+y=(xi+iyi)iI,
où x=(xi)iI et y=(yi)iI sont
des éléments de G. Alors le magma (G,+) ainsi
défini est un groupe.
Démonstration:
Vérifions les quatre axiomes de la définition:
- (G,+) est un magma par construction.
- Notons, pour tout iI, 0i
l'élément neutre de (Gi,+i),
et notons 0 l'élément de G défini par
0=(0i)iI. Soit de plus un élément
x=(xi)iI de G. On a alors:
0+x=(0i+ixi)iI=(xi)iI=x
x+0=(xi+i0i)iI=(xi)iI=x
0 est donc un élément neutre de + dans G.
- Soient x, y et z trois éléments de G:
x=(xi)iI, y=(yi)iI,
z=(zi)iI. On a:
(x+y)+z=((x+y)i+zi)iI=((xi+yi)+zi)iI=(xi+(yi+zi))iI=(xi+(y+z)i)iI=x+(y+z)
La loi + est donc associative sur G.
- Soit x=(xi)iI un élément
quelconque de G. Notons y=(-xi)iI.
On a:
x+y=(xi+(-xi))iI=(0i)iI=0
y+x=((-xi)+xi)iI=(0i)iI=0
x est donc symétrisable pour la loi +.
Enoncé:
Soient (G,+) un groupe quelconque et H une partie de G. (H,+) est
un sous-groupe de (G,+) si et seulement si H est non vide et (x,y)H2 , x-yH.
Démonstration:
- Remarquons d'abord que si H est une partie non vide de G, et
si un élément x de H admet un symétrique dans
H, alors les symétriques de x dans G et dans H sont
égaux (en effet, la relation x+(-x)=(-x)+x=0 reste vraie
que l'on considère x et -x comme éléments de
G ou de H, et donc le symétrique de x dans H est aussi
l'unique
symétrique de x dans G).
- Supposons que (H,+) est un sous-groupe de (G,+). Alors (H,+)
est un groupe, donc H est non vide et si on se donne deux
éléments x et y de H, alors (-y)H et
x-y=x+(-y)H.
- Réciproquement, supposons que H soit non vide et que
pour tous éléments x et y de H, x-y appartienne
à H.
Alors l'élément neutre de la loi + (noté 0)
appartient à H car si x est un élément de H,
on peut écrire 0=x-x.
Donc si x est un élément quelconque de H, alors
(-x)=0-xH, et si x et y sont de éléments de H,
alors x+y=x-(-y)H.
On a montré que (H,+) est un magma dont la loi admet un
élément neutre et dont tout élément
est symétrisable. Il reste à montrer que la loi +
est associative sur H, ce qui est évident car elle l'est
sur G, qui est un sur-ensemble de H.
Enoncé:
Soient (G,+) et (H,*) deux groupes quelconques et f un
morphisme de groupes de G dans H. Alors kerf est un
sous-groupe de G et Imf est un sous-groupe de H.
Démonstration:
- kerf est un sous-ensemble non vide de G (il contient
0G).
Soient x et y deux éléments de kerf.
f(x-y) = f(x) - f(y) = 0H -
0H = 0H
x-ykerf; donc kerf est un sous-groupe de
G.
- Imf est un sous-ensemble non vide de H (il contient
0H).
Soient z et t deux éléments quelconques de
Imf; il existe deux éléments x et y de G tels
que z=f(x) et t=f(y).
z-t = f(x) - f(y) = f(x-y)Imf
Donc Imf est un sous-groupe de H.
Enoncé:
Soit (G,+) un groupe, et soit (H,+) un sous-groupe de (G,+).
Notons, pour tous éléments x et y de G,
xRdy(x-y)H
La relation Rd est une relation d'équivalence.
Démonstration:
- Soit x un élément quelconque de G. Alors
x-x=0H, donc xRdx; la relation Rd
est réflexive.
- Soient x et y deux éléments quelconques de G.
Supposons xRdy. Alors x-yH;
(H,+) étant un groupe, il vient y-x=-(x-y)H.
Donc yRdx; Rd est symétrique.
- Soient x, y et z trois éléments quelconques de
G. Supposons xRdy et yRdz. Alors
xRdz; en effet, x-z est la somme de deux
éléments de H: x-z=(x-y)+(y-z). La relation
Rd est donc transitive.
Enoncé:
Soit (G,+) un groupe, et soit (H,+) un sous-groupe de (G,+).
Notons, pour tous éléments x et y de G,
xRgy(-x+y)H
La relation Rg est une relation d'équivalence.
Démonstration:
- Soit x un élément quelconque de G. Alors
-x+x=0H, donc xRgx; la relation Rg
est réflexive.
- Soient x et y deux éléments quelconques de G.
Supposons xRgy. Alors -x+yH;
(H,+) étant un groupe, il vient -y+x=-(-x+y)H.
Donc yRgx; Rg est symétrique.
- Soient x, y et z trois éléments quelconques de
G. Supposons xRgy et yRgz. Alors
xRgz; en effet, x-z est la somme de deux
éléments de H: -x+z=(-x+y)+(-y+z). La relation R est
donc transitive.
Enoncé:
Soient x et y deux éléments quelconques de G. On
a:
xRgyhH , y = x + h
Démonstration:
- Supposons d'abord xRgy.
Alors -x+yH; posons h = -x + y
On a bien y = x + h et hH
- Réciproquement, supposons: hH , y = x + h
Alors -x + y = hH, donc xRgy
Enoncé:
Soient x et y deux éléments quelconques de G. On
a:
xRdyhH , y = h + x
Démonstration:
- Supposons d'abord xRdy.
Alors y - xH; posons h = y - x
On a bien y = h + x et hH
- Réciproquement, supposons: hH , y = h + x
Alors y - x = hH, donc xRdy
Enoncé:
Soient (G,+) un groupe et (H,+) un sous-groupe de (G,+).
Les assertions suivantes sont équivalentes:
- Les relations Rg et Rd
coïncident sur G
- xG , x + H = H + x
- xG , x + HH + x
- xG , x + H - x = H
- xG , x + H - xH
- Il existe un groupe G' et un morphisme de groupes de G dans G'
de noyau H.
Démonstration:
Les implications iiiii et ivv sont triviales. Les
équivalences iiiv et iiiiv également.
Deux relations d'équivalence coïncident si et
seulement si elles ont les mêmes classes d'équivalence,
donc iii.
Supposons que la propriété iii est
vérifiée.
Soit x un élément quelconque de G. La
propriété iii appliquée à -x donne:
-x + HH - x, c'est à dire:
hH , h'H , -x + h = h' - x
d'où: hH , h'H , h + x = x + h'
c'est à dire H + xx + H.
L'inclusion inverse est donnée par la propriété
iii, donc H + x = x + H.
On a ainsi montré l'implication iiiii.
Il reste à montrer l'équivalence entre la
propriété vi et les autres.
Supposons la propriété vi
vérifiée.
Soient (G',+) un groupe et f un morphisme de (G,+) dans
(G',+), de noyau H.
Soient x un élément quelconque de G et h un
élément de H.
On a: f(x + h - x) = f(x) + f(h) - f(x) =
f(x) + 0G' - f(x) = f(x) -
f(x) = 0G'
Donc x + h - xKer f = H.
Cette inclusion ne dépend pas du choix de h; donc h + H -
xH.
On a montré l'implication viv. L'implication réciproque
est démontrée dans le corps de l'article, avec la
construction des groupes-quotients.
Enoncé:
Posons (x,y)G2 , (x+H) + (y+H) = (x+y) + H
Cette définition ne dépend pas du choix des
représentants x et y de x+H et y+H; elle définit une
loi de composition interne sur G/H.
Démonstration:
- Montrons que la définition est indépendante du
choix de x comme représentant de x+H. Soit x' un autre
représentant de x+H; montrons que H + (x+y) = H +
(x'+y).
Soit z(x+y) + H. Alors zH + (x+y), donc (x+y)-zH.
Alors (x'+y)-z=x'+(-x+x)+y-z=(x'-x)+(x+y)-z. Or par
hypothèse x'H+x, donc x'-xH.
(H,+) étant un groupe, il vient (x'+y)-zH,
c'est à dire zH + (x'+y). On a donc H + (x+y)H +
(x'+y). Par symétrie des rôles de x et x', on a
l'inclusion inverse, donc H + (x+y) = H + (x'+y).
- Montrons que la définition est indépendante du
choix de y comme représentant de y+H. Soit y' un autre
représentant de y+H; montrons que (x+y) + H = (x+y') +
H.
Soit z(x+y) + H. Alors z-(x+y)H.
Or z-(x+y')=z-(x+y)+(-y+y'). Par hypothèse, y'y+H, donc -y+y'H. (H,+) étant un groupe,
il vient z-(x+y')H, c'est à dire zH +
(x+y'). On a donc H + (x+y)H + (x+y'). Par symétrie
des rôles de y et y', on a l'inclusion inverse, donc (x+y) +
H = (x+y') + H.
- La définition ne dépend donc pas du choix de x
et de y comme représentants de leurs classes; elle a bien
un sens. On a bien défini une loi de composition interne
sur G/H: soient X et Y deux éléments de G/H, alors
on peut écrire X=cl(x) et Y=cl(y), et X+Y=cl(x+y)H.
Remarque :
La démonstration utilise le fait que H est un
sous-groupe distingué car on prend pour classes
d'équivalence indifféremment les x+H ou les H+x.
Enoncé:
(G/H,+) est un groupe.
Démonstration:
- On a montré que (G/H,+) est un magma.
- Remarquons d'abord que H = H + 0; en effet, xG ,
xH(x-0)H. On a par définition de la loi +
sur G/H, pour tout élément x de G:
(x+H) + H = (x+H) + (0+H) = (x+0) + H =x + H
H + (H+x) = (H+0) + (H+x) = H + (0+x) = H + x
La loi + admet donc H comme élément neutre sur G/H.
- Soient X, Y et Z trois éléments de G/H; soient
x, y et z trois éléments de G tels que X = x+H, Y=
y+H, Z = z+H. On a alors:
(X+Y) + Z = ((x+H)+(y+H)) + (z+H) = ((x+y)+H) + (z+H) = ((x+y)+z)
+ H = (x+(y+z)) + H = (x+H) + ((y+z)+H) = (x+H) + ((y+H)+(z+H)) =
X + (Y+Z)
La loi + est associative sur G/H.
- Soient X un élément de G/H, et x un
élément de G tel que X = x+H. Notons Y = (-x)+H.
Y + X = (-x+H) + (x+H) = (-x+x) + H = 0 + H = H
X + Y = (x+H) + (-x+H) = (x-x) + H = 0 + H = H
X est symétrisable, de symétrique Y.
Enoncé:
Le noyau de l'application s:GG/H,xx+H, est H.
Démonstration:
- Soit xkers. Alors x+H = H; en particulier, H
étant un groupe, il contient 0, donc hH , x+h = 0. Donc -xH;
H étant un groupe, xH. On a donc kersH.
- Soit xH. Alors hH , x+hH,
donc x+HH. Réciproquement, hH,
h = (x-x)+h = x+(-x+h)x+H, donc Hx+H;
donc H=x+H. Donc xkers; finalement, on a Hkers et H=kers.
Enoncé:
Démonstration: