Enoncé:

Soit (G,+) un groupe quelconque. Soient x et y deux éléments de G. Alors -(x+y)=(-y)+(-x).

Démonstration:

(x+y)+((-y)+(-x))=x+((y+(-y))+(-x))=x+(0+(-x))=x+(-x)=0

((-y)+(-x))+(x+y)=(-y)+(((-x)+x)+y)=(-y)+(0+y)=(-y)+y=0


Enoncé:

Soient (G,+) et (H,*) deux groupes; soit f un morphisme de groupes de G dans H.

Démonstration:


Enoncé:

Si (G,+) et (H,*) sont deux groupes quelconques, et si f est un isomorphisme de G sur H, alors f-1 est un isomorphisme de H sur G.

Démonstration:

Si f est un isomorphisme, alors f est une bijection, donc f-1 aussi. Il suffit de montrer que f-1 est un morphisme de groupes.
Soient x et y deux éléments quelconques de H. On a alors:
f(f-1(x)+f-1(y)) = f(f-1(x)) + f(f-1(y)) = x + y
D'où:
f-1(x) + f-1(y) = f-1(x+y)
f-1 est donc un isomorphisme de groupes de H sur G.


Enoncé:

Un morphisme de groupes est injectif si et seulement si son noyau est réduit à l'élément neutre.

Démonstration:

Soient (G,+) et (H,*) deux groupes et f un morphisme de G dans H.


Enoncé:

Soit (Gi,+i)iI une famille de groupes. On note G l'ensemble produit Gi et + la loi de composition interne sur G définie par x+y=(xi+iyi)iI, où x=(xi)iI et y=(yi)iI sont des éléments de G. Alors le magma (G,+) ainsi défini est un groupe.

Démonstration:

Vérifions les quatre axiomes de la définition:

  1. (G,+) est un magma par construction.
  2. Notons, pour tout iI, 0i l'élément neutre de (Gi,+i), et notons 0 l'élément de G défini par 0=(0i)iI. Soit de plus un élément x=(xi)iI de G. On a alors:
    0+x=(0i+ixi)iI=(xi)iI=x
    x+0=(xi+i0i)iI=(xi)iI=x
    0 est donc un élément neutre de + dans G.
  3. Soient x, y et z trois éléments de G: x=(xi)iI, y=(yi)iI, z=(zi)iI. On a:
    (x+y)+z=((x+y)i+zi)iI=((xi+yi)+zi)iI=(xi+(yi+zi))iI=(xi+(y+z)i)iI=x+(y+z)
    La loi + est donc associative sur G.
  4. Soit x=(xi)iI un élément quelconque de G. Notons y=(-xi)iI. On a:
    x+y=(xi+(-xi))iI=(0i)iI=0
    y+x=((-xi)+xi)iI=(0i)iI=0
    x est donc symétrisable pour la loi +.


Enoncé:

Soient (G,+) un groupe quelconque et H une partie de G. (H,+) est un sous-groupe de (G,+) si et seulement si H est non vide et (x,y)H2 , x-yH.

Démonstration:


Enoncé:

Soient (G,+) et (H,*) deux groupes quelconques et f un morphisme de groupes de G dans H. Alors kerf est un sous-groupe de G et Imf est un sous-groupe de H.

Démonstration:


Enoncé:

Soit (G,+) un groupe, et soit (H,+) un sous-groupe de (G,+).
Notons, pour tous éléments x et y de G, xRdy(x-y)H
La relation Rd est une relation d'équivalence.

Démonstration:


Enoncé:

Soit (G,+) un groupe, et soit (H,+) un sous-groupe de (G,+).
Notons, pour tous éléments x et y de G, xRgy(-x+y)H
La relation Rg est une relation d'équivalence.

Démonstration:


Enoncé:

Soient x et y deux éléments quelconques de G. On a:
xRgyhH , y = x + h

Démonstration:


Enoncé:

Soient x et y deux éléments quelconques de G. On a:
xRdyhH , y = h + x

Démonstration:


Enoncé:

Soient (G,+) un groupe et (H,+) un sous-groupe de (G,+).
Les assertions suivantes sont équivalentes:

  1.  Les relations Rg et Rd coïncident sur G
  2. xG , x + H = H + x
  3. xG , x + HH + x
  4. xG , x + H - x = H
  5. xG , x + H - xH
  6. Il existe un groupe G' et un morphisme de groupes de G dans G' de noyau H.

Démonstration:

Les implications iiiii et ivv sont triviales. Les équivalences iiiv et iiiiv également.

Deux relations d'équivalence coïncident si et seulement si elles ont les mêmes classes d'équivalence, donc iii.

Supposons que la propriété iii est vérifiée.
Soit x un élément quelconque de G. La propriété iii appliquée à -x donne:
-x + HH - x, c'est à dire:
hH , h'H , -x + h = h' - x
d'où: hH , h'H , h + x = x + h'
c'est à dire H + xx + H.
L'inclusion inverse est donnée par la propriété iii, donc H + x = x + H.
On a ainsi montré l'implication iiiii.

Il reste à montrer l'équivalence entre la propriété vi et les autres.

Supposons la propriété vi vérifiée.
Soient (G',+) un groupe et f un morphisme de (G,+) dans (G',+), de noyau H.
Soient x un élément quelconque de G et h un élément de H.
On a: f(x + h - x) = f(x) + f(h) - f(x) = f(x) + 0G' - f(x) = f(x) - f(x) = 0G'
Donc x + h - xKer f = H.
Cette inclusion ne dépend pas du choix de h; donc h + H - xH.
On a montré l'implication viv. L'implication réciproque est démontrée dans le corps de l'article, avec la construction des groupes-quotients.


Enoncé:

Posons (x,y)G2 , (x+H) + (y+H) = (x+y) + H
Cette définition ne dépend pas du choix des représentants x et y de x+H et y+H; elle définit une loi de composition interne sur G/H.

Démonstration:

Remarque :

La démonstration utilise le fait que H est un sous-groupe distingué car on prend pour classes d'équivalence indifféremment les x+H ou les H+x.


Enoncé:

(G/H,+) est un groupe.

Démonstration:


Enoncé:

Le noyau de l'application s:GG/H,xx+H, est H.

Démonstration:


Enoncé:

Démonstration: