Groupes

I. Définitions
II. Morphismes
III. Structures

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I. Définitions

- Définition :

(G,+) est un groupe ssi

1. (G,+) est un magma
2. La loi + possède un élément neutre dans G
3. La loi + est associative sur G
4. Tout élément de G est symétrisable pour la loi +

Groupe commutatif :

Soit (G,+) un groupe quelconque. (G,+) est dit commutatif, ou abélien, si la loi + est commutative sur G.

Groupe fini :

Un groupe (G,+) est dit fini si l'ensemble G est fini. Dans ce cas on appelle ordre du groupe le cardinal de G.

Remarques :

1. Dans la suite, on notera la loi de compositions sur G comme une addition; les inverses seront donc notés comme des opposés. Cette notation n'a rien d'obligatoire, son but est de maintenir une cohérence entre ce chapitre et les suivants: les anneaux, les corps, les espaces vectoriels.
2. Si aucune confusion n'est possible, on peut omettre de préciser la loi de composition utilisée; par exemple, on note fréquemment "le groupe R" pour "le groupe (R,+)".

Notation :

Dans ce contexte, si x et y sont deux éléments d'un groupe G, on note x-y=x+(-y). L'élément neutre est noté 0 (ou 0_G en cas de confusion possible).

- Règles de calcul :

Soit (G,+) un groupe quelconque.

Proposition I.2.i :

Soient x et y deux éléments de G. Alors -(x+y)=(-y)+(-x).

Voir démonstration

II. Morphismes

- Définition :

Soient (G,+) et (H,*) deux groupes. On dit qu'une application f de G dans H est un morphisme de groupes si et seulement si:
(x,y)G² , f(x+y)=f(x)*f(y)

Exemple :

Soient (G,+) et (H,*) deux groupes quelconques. L'application nulle f:GH,x0_H, est un morphisme de groupes; en effet, (x,y)G² , f(x+y) = 0_H = 0_H + 0_H = f(x) + f(y)

Corollaire :

Si (G,+) et (H,*) sont deux groupes quelconques, il existe un morphisme de groupes de (G,+) dans (H,*).

Règles de calcul :

Soient (G,+) et (H,*) deux groupes; soit f un morphisme de groupes de G dans H.

• f(0_G) = 0_H
• xG , f(-x) = -f(x)

Voir démonstration

- Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme :

Définitions :

Soient (G,+) et (H,*) deux groupes quelconques.

• Un endomorphisme de G est un morphisme de groupes de G dans G.
• Un isomorphisme de G sur H est un morphisme bijectif de G dans H.
• Un automorphisme de G est un isomorphisme de G sur lui-même, c'est-à-dire un endomorphisme bijectif de G.

Proposition II.2.i :

Si (G,+) et (H,*) sont deux groupes quelconques, et si f est un isomorphisme de G sur H, alors f^-1 est un isomorphisme de H sur G.

Voir démonstration

- Noyau et image d'un morphisme :

• Avec les notations ci-dessus, on appelle noyau de f, et on note kerf, l'ensemble f^-1(0_H) des éléments x de G tels que f(x)=0_H.
• Toujours avec les mêmes notations, on appelle image de f, et on note Imf, le sous-ensemble f(G) de H formé des images par f des éléments de G.

Proposition II.3.i :

Un morphisme de groupes est injectif si et seulement si son noyau est réduit à l'élément neutre.

Voir démonstration

III. Structures

- Groupes-produits :

Proposition III.1.i et définition :

Soit (G_i,+_i)iI une famille de groupes. On note G l'ensemble produit G_i et + la loi de composition interne sur G définie par x+y=(x_i+_iy_i)iI, où x=(x_i)iI et y=(y_i)iI sont des éléments de G. Alors le magma (G,+) ainsi défini est un groupe; on l'appelle groupe-produit (G_i,+_i).

Voir démonstration

- Sous-groupes :

Définition :

Soient (G,+) un groupe quelconque et H une partie de G. On dit que (H,+) est un sous-groupe de (G,+) si (H,+) est un groupe.

Caractérisation :

Soient (G,+) un groupe quelconque et H une partie de G. (H,+) est un sous-groupe de (G,+) si et seulement si H est non vide et (x,y)H² , x-yH.

Voir démonstration

Exemple :

Soient (G,+) et (H,*) deux groupes quelconques et f un morphisme de groupes de G dans H. Alors kerf est un sous-groupe de G et Imf est un sous-groupe de H.

Voir démonstration

- Sous-groupes normaux :

Soit (G,+) un groupe, et soit (H,+) un sous-groupe de (G,+).
Notons, pour tous éléments x et y de G, xR_dy(x-y)H.
La relation R_d est une relation d'équivalence (voir démonstration).
De même, notons (x,y)G² , xR_gy(-x)+yH; la relation R_g est également une relation d'équivalence (voir démonstration).
R_g (resp. R_d) est appelée relation d'équivalence à gauche (resp. à droite).

Etudions les classes d'équivalence de la relation à gauche.

Proposition III.3.i :

Soient x et y deux éléments quelconques de G. On a:
xR_gyhH , y = x + h

Voir démonstration

Autrement dit, la classe d'équivalence de x est l'ensemble {x+h ; hH}, noté x+H.

On a une propriété similaire pour la relation à droite:

Proposition III.3.ii :

Soit x un élément quelconque de G. La classe d'équivalence de x pour la relation R_d est l'ensemble H+x = {h+x ; hH}.

Voir démonstration

Proposition III.3.iii :

Soient (G,+) un groupe et (H,+) un sous-groupe de (G,+).
Les assertions suivantes sont équivalentes:

1.  Les relations R_g et R_d coïncident sur G
2. xG , x + H = H + x
3. xG , x + HH + x
4. xG , x + H - x = H
5. xG , x + H - xH
6. Il existe un groupe G' et un morphisme de groupes de G dans G' de noyau H.

Voir démonstration

Définition :

Un sous-groupe (H,+) de (G,+) vérifiant les six propriétés ci-dessus est dit normal, ou distingué, dans (G,+).

Exemple :

Tout sous-groupe H d'un groupe abélien G est normal dans G; en effet, G étant abélien, on a xG , hH , x + h = h + x , donc xG , x + H = H + x.

- Groupes-quotients :

Soit (G,+) un groupe et (H,+) un sous-groupe normal de (G,+), c'est à dire tel que les propriétés i à v ci-dessus soient vérifiées.

Remarque :

Nous avons démontré l'équivalence des cinq premières propriétés définissant un sous-groupe normal; nous allons les supposer vérifiées et montrer dans la suite du paragraphe qu'elles impliquent que la propriété vi est vraie aussi. L'implication inverse a été démontrée au paragraphe précédent.

Les relations d'équivalence R_g et R_d définies ci-dessus coïncident sur G; notons R cette relation d'équivalence.
Notons G/H l'ensemble G/R des classes d'équivalences d'éléments de G: G/H={x+H; xG}.
Posons (x,y)G² , (x+H) + (y+H) = (x+y) + H
Cette définition ne dépend pas du choix des représentants x et y de x+H et y+H; elle définit une loi de composition interne sur G/H(voir démonstration).
On a ainsi défini un groupe (G/H,+) (voir démonstration). On l'appelle groupe-quotient G/H.

Notons s l'application GG/H,xx+H.
Par définition de la loi de composition sur G/H, cette application est un morphisme de groupes. De plus, son noyau est H (voir démonstration). Ce qui termine la démonstration de la proposition III.3.iii. Enfin, par définition de G/H, cette application est surjective, car xG , x+H = s(x).

- Décomposition canonique d'un morphisme de groupes :

Soient (G,+) et (H,*) deux groupes quelconques, et soit f un morphisme de groupes de G dans H.

On sait qu'il existe un morphisme surjectif s de G dans G/kerf (voir le paragraphe précédent).
L'injection canonique i:ImfH,xx est évidemment un morphisme de groupes.
On veut construire un isomorphisme de groupes b de G/kerf sur Imf, tel que f=iobos.

Posons xG , b(x+kerf) = f(x).
Montrons d'abord que b définit bien une application de G/kerf dans H, c'est à dire que si x et y sont deux éléments de G tels que x+kerf = y+kerf, alors f(x) = f(y). C'est vrai car dans ce cas, on a y=x+t, avec tkerf, et f(y) = f(x+t) = f(x) + f(t) = f(x) + 0_H =f(x). La valeur de b(x+kerf) ne dépend donc pas du choix de x comme représentant de x+kerf, donc on a bien défini une application.
De plus, b est un morphisme de groupes de G/kerf dans Imf:
(x,y)(G/kerf)² , b((x+kerf)+(y+kerf)) = b((x+y)+kerf) = x + y = b(x+kerf) + b(y+kerf)
b est surjectif car xG , f(x) = b(x+H).
b est injectif; en effet, f(x+kerf) = 0_Hf(x) = 0_Hxkerfx+kerf = kerf, c'est à dire kerb = 0_G/kerf.

On a bien défini ainsi un isomorphisme de G/kerf sur Imf; de plus, on a bien f=iobos.