Espace vectoriel
A) Sans hypothèse de dimension
1) Notion d'espace vectoriel
Soit k un corps.
On suppose que la définition d'espace vectoriel est connue. On rappelle simplement la propriété suivante : si L est un corps tel que k soit un sous corps de L alors L a une structure de
k
- espace vectoriel .Un produit cartésien d'espace vectoriel est un espace vectoriel.
2) Combinaison linéaire
Soit E un espace vectoriel sur k.
x1,..., xn des vecteurs de E. Une combinaison linéaire de ces vecteurs est un vecteur du type :
où " i,1£ i £ n, aiÎ k.
3) Famille libre et génératrice
Famille finie :
(x1,..., xn) est une famille libre si et seulement si " a1,..., anÎ k, = 0 Þ " i,1£ i £ n,ai =0
si et seulement si aucun des xi n'est combinaison linéaire des autres
(x1,..., xn) est une famille liée si et seulement si $ a1,..., anÎ k, = 0 et $ i,1£ i £ n, ai ¹ 0
si et seulement si un des xi est combinaison linéaire des autres.
Propriétés : - une famille contenant 0 est liée
- une famille contenant 2 fois le même vecteur est liée
- une sous famille d'une famille libre est libre
- une sur famille d'une famille liée est liée
Famille quelconque :
(ei)iÎ I est une famille libre si toute famille extraite est libre.
(ei)iÎ I est une famille liée si il existe une famille extraite liée.
On suppose connu la définition d'un sous - espace vectoriel.
Soit P une partie ou une famille de E.
Le sous - espace vectoriel engendré par P (noté Vect P) est, si il existe, le plus petit sous - espace de E contenant P.
Théorème : il existe et c'est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de P.
Famille génératrice :
Soit E' un sous - espace de E.
(ei)i est une famille génératrice de E' si et seulement si E' = Vect (ei)i
si et seulement si tout élément de E' est combinaison linéaire des ei.
Base :
(ei)i est une famille de E. Cette famille est une base de E si et seulement si elle est libre et génératrice i.e. tout vecteur de E s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des ei.
4) Application linéaire
E, F deux k - espace vectoriel.
f : E ® F
Définition :
f est linéaire (ou f est un homomorphisme) si et seulement si :
" x, yÎ E, " a, bÎ k, f(ax + by) = a f(x) + b f(y)
Propriétés : - E' sous - espace de E Þ f(E') sous - espace de F
- Im f = f(E) est un sous - espace de F
- Ker f = f-1({0F}) est un sous - espace de E
- f est injective si et seulement si Ker f = {0}
Notion d'élément propre d'un endomorphisme :
Un endomorphisme est une application linéaire de E dans E. L'ensemble des endomorphismes de E est noté L(E). C'est une algèbre.
Soit fÎ L(E). l est une valeur propre de f si et seulement si il existe xÎ E\{0} tel que f(x) = l x
x est appelée le vecteur propre associé à l .
Pour plus de détails, voir le chapitre Réduction des endomorphismes.
Action sur les familles :
- f (Vect P) = Vect f (P)
- l'image d'une famille génératrice de E par f est une famille génératrice de Im f
- l'image d'une famille génératrice de E par f est une famille génératrice de F si et seulement si f est surjective
Propositions (très importantes) :
- une application linéaire de E dans F est caractérisé par la donnée de l'image d'une base de E
- plus précisément, si (ei)iÎ I est une base de E et si on se donne une famille (ui)iÎ I d'éléments de F, alors il existe une unique application linéaire f de E dans F telle que " iÎ I, f(ei) = ui
Conséquences : soit B une base de E
- f est surjective si et seulement si f(B) est une génératrice de F
- f est injective si et seulement si f(B) est une famille libre de F
- f est bijective si et seulement si f(B) est une base de F
5) Sommes de sous - espaces
F et G 2 sous - espaces de E
F + G = {x + y, xÎ F, yÎ G}
Proposition :
F + G est un sous - espace de E. C'est le sous - espace engendré par FÈ G.
Définition :
On dit que F et G sont en somme directe si et seulement si FÇ G = {0}
si et seulement si tout élément de F + G a une écriture unique sous la forme x + y, xÎ F, yÎ G
si et seulement si " xÎ F, " yÎ G, x + y =0 Þ x=y=0
Lorsque F et G sont en somme directe, F + G est noté F Å G.
Définition :
F et G sont supplémentaires dans E si et seulement si F et G sont en somme directe et F Å G=E
si et seulement si F + G = E et FÇ G = {0}
si et seulement si tout élément z de E a une décomposition unique sous la forme z =x + y, xÎ F, yÎ G.
On généralise facilement les 2 notions à une somme finie de sous - espaces.
6) Projecteurs
E = F Å G et x = y + z, xÎ E, yÎ F, zÎ G.
Définition :
L'application p définie par : p(x) = y est un endomorphisme. p est le projecteur sur F parallèlement à G.
Propriétés : - Im p = F et Ker p = G
- p o p = p ( o désignant le produit de composition)
- les valeurs propres de p sont 1 et 0
Théorème :
Soit fÎ L(E).
Si f o f = f, alors f est un projecteur sur Im f parallèlement à Ker f.
On a alors : E = Im f Å Ker f.
7) Symétries et affinités
E = F Å G et x = y + z, xÎ E, yÎ F, zÎ G.
Définition :
La symétrie par rapport à F et parallèlement à G est l'application s telle que : s(x) = y - z.
Propriétés : - s o s = Id et s-1 = s (involution)
- s est linéaire
- les valeurs propres de s sont 1 et -1
Théorème :
Soit fÎ L(E).
Si f o f = f, alors f est une symétrie par rapport à Ker (f - Id) parallèlement à Ker (f + Id).
Définition :
L'affinité de base F de direction G de rapport t est l'application f : f(x) = y + tz.
Remarque : - si t = 0, f est un projecteur
- si t = -1, f est une symétrie
- si t = 1, f est l'identité
8) Le théorème fondamental
f Î L(E, F).
Soit S un supplémentaire du noyau de f.
f induit alors un isomorphisme de S vers Im f.
B) Théorie de la dimension
1) Espace vectoriel de dimension finie
3 idées importantes :
- soit (ei)iÎ I une famille libre et aÏ Vect (ei) alors la famille obtenue en ajoutant a à (ei) est libre
- soit D une famille liée, e un vecteur de D combinaison linéaire des autres vecteurs de D et D' la famille obtenue en enlevant e à D, alors Vect D' = Vect D
- si dans E, p vecteurs sont combinaison linéaire de q vecteurs avec q<p alors les p vecteurs forment une famille liée.
2) Notion de dimension finie
Théorème :
Il y a équivalence entre : i) E admet une famille finie génératrice finie
ii) les familles libres ont un cardinal borné
Définition :
Un espace vectoriel dans lequel une de ces propriétés est vérifiée est dit de dimension finie.
Théorèmes :
- un espace vectoriel de dimension finie admet une base finie
- toutes les bases ont même cardinal.
Définition :
dim E = card B où B est une base de E.
Théorème de la base incomplète :
E de dimension finie.
Une famille libre peut être complétée en une base.
Plus précisément, si L est une famille libre de E et si G est une famille génératrice de E, on peut compléter L en une base de E à l'aide de vecteurs de G.
Conséquences : dim E = n
- une famille libre de n vecteurs est une base.
- le cardinal d'une famille libre est inférieure ou égal à n
- une famille libre de moins de n vecteurs peut être complétée en une base de E
- une famille génératrice de n vecteurs est une base
- le cardinal d'une famille génératrice est supérieure ou égal à n
- d'une famille génératrice, on peut extraire une base de E.
Remarque :
En dimension finie, l'existence de bases est assurée alors qu'en dimension infinie, les bases existent que si on accepte l'axiome du choix.
3) Dimension des sous - espaces
E de dimension finie.
Si F est un sous - espace vectoriel de E alors :
- F est de dimension finie
- dim F £ dim E
- dim F = dim E Û F = E
- F admet des supplémentaires dans E (dépend de l'axiome du choix en dimension infinie).
4) Dimension d'une somme
F et G deux sous - espaces de dimension finie.
Propriétés :
- F + G est de dimension finie
- dim (F + G) £ dim F + dim G. Mieux : dim (F + G) = dim F + dim G - dim (FÇ G)
- si F et G sont en somme directe, dim (F + G) = dim F + dim G et on obtient une base de
F + G en réunissant une base de F et une base de G
On a des résultats analogues en considérant une somme finie de sous - espaces.
Propriété :
E = F Å G Û E = F + G et dim E = dim F + dim G
Û FÇ G = {0} et dim E = dim F + dim G
Propriétés :
- la dimension d'un produit d'espaces est la somme des dimension s de chaque espace.
- dim L(E, F) = dim E * dim F.
5) rang d'une application linéaire
Rang d'une famille de vecteurs :
F
une famille de vecteurs.On dit que F est de rang fini si et seulement si Vect F est de dimension finie.
Si F est de rang finie, rg F = dim (Vect F).
Rang d'une application linéaire :
fÎ L(E, F).
On dit que f est de rang fini si et seulement si Im f est de dimension finie.
Si f est de rang fini, rg f = dim (Im f).
6) Théorème du rang
fÎ L(E, F).
Théorème :
Si E est de dimension finie et f est un isomorphisme alors F est de dimension finie et
dim E = dim F.
Théorème du rang :
dim E = rg f + dim Ker f
Remarque :
Bien sûr, on n'a pas : E = Im f Å Ker f sauf si f est un projecteur.
Conséquences :
rg f £ dim E Û f est injective.
rg f £ dim f Û f est bijective.
Théorème :
Si E et F sont de même dimension, cette dimension étant finie, alors :
f injective Û f surjective Û f bijective.
Rang d'un produit :
fÎ L(E, F), gÎ L(F, G).
rg (f o g) £ rg g et rg (f o g) £ rg f.
Si f est bijective, rg (g o f) = rg g.
Si g est bijective, rg (g o f) = rg f.
FIN