Espace vectoriel

 

 

 

 

A) Sans hypothèse de dimension

 

1) Notion d'espace vectoriel

 

Soit k un corps.

On suppose que la définition d'espace vectoriel est connue. On rappelle simplement la propriété suivante : si L est un corps tel que k soit un sous corps de L alors L a une structure de

k - espace vectoriel .

Un produit cartésien d'espace vectoriel est un espace vectoriel.

 

2) Combinaison linéaire

 

Soit E un espace vectoriel sur k.

x1,..., xn des vecteurs de E. Une combinaison linéaire de ces vecteurs est un vecteur du type :

" i,1£ i £ n, aiÎ k.

 

3) Famille libre et génératrice

 

Famille finie :

(x1,..., xn) est une famille libre si et seulement si " a1,..., anÎ k, = 0 Þ " i,1£ i £ n,ai =0

si et seulement si aucun des xi n'est combinaison linéaire des autres

(x1,..., xn) est une famille liée si et seulement si $ a1,..., anÎ k, = 0 et $ i,1£ i £ n, ai ¹ 0

si et seulement si un des xi est combinaison linéaire des autres.

 

Propriétés : - une famille contenant 0 est liée

- une famille contenant 2 fois le même vecteur est liée

- une sous famille d'une famille libre est libre

- une sur famille d'une famille liée est liée

 

Famille quelconque :

(ei)iÎ I est une famille libre si toute famille extraite est libre.

(ei)iÎ I est une famille liée si il existe une famille extraite liée.

 

On suppose connu la définition d'un sous - espace vectoriel.

Soit P une partie ou une famille de E.

Le sous - espace vectoriel engendré par P (noté Vect P) est, si il existe, le plus petit sous - espace de E contenant P.

Théorème : il existe et c'est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de P.

 

Famille génératrice :

Soit E' un sous - espace de E.

(ei)i est une famille génératrice de E' si et seulement si E' = Vect (ei)i

si et seulement si tout élément de E' est combinaison linéaire des ei.

 

Base :

(ei)i est une famille de E. Cette famille est une base de E si et seulement si elle est libre et génératrice i.e. tout vecteur de E s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des ei.

 

4) Application linéaire

 

E, F deux k - espace vectoriel.

f : E ® F

Définition :

f est linéaire (ou f est un homomorphisme) si et seulement si :

" x, yÎ E, " a, bÎ k, f(ax + by) = a f(x) + b f(y)

 

Propriétés : - E' sous - espace de E Þ f(E') sous - espace de F

- Im f = f(E) est un sous - espace de F

- Ker f = f-1({0F}) est un sous - espace de E

- f est injective si et seulement si Ker f = {0}

 

Notion d'élément propre d'un endomorphisme :

Un endomorphisme est une application linéaire de E dans E. L'ensemble des endomorphismes de E est noté L(E). C'est une algèbre.

Soit fÎ L(E). l est une valeur propre de f si et seulement si il existe xÎ E\{0} tel que f(x) = l x

x est appelée le vecteur propre associé à l .

Pour plus de détails, voir le chapitre Réduction des endomorphismes.

 

Action sur les familles :

- f (Vect P) = Vect f (P)

- l'image d'une famille génératrice de E par f est une famille génératrice de Im f

- l'image d'une famille génératrice de E par f est une famille génératrice de F si et seulement si f est surjective

 

Propositions (très importantes) :

- une application linéaire de E dans F est caractérisé par la donnée de l'image d'une base de E

- plus précisément, si (ei)iÎ I est une base de E et si on se donne une famille (ui)iÎ I d'éléments de F, alors il existe une unique application linéaire f de E dans F telle que " iÎ I, f(ei) = ui

 

Conséquences : soit B une base de E

- f est surjective si et seulement si f(B) est une génératrice de F

- f est injective si et seulement si f(B) est une famille libre de F

- f est bijective si et seulement si f(B) est une base de F

 

 

 

5) Sommes de sous - espaces

 

F et G 2 sous - espaces de E

F + G = {x + y, xÎ F, yÎ G}

Proposition :

F + G est un sous - espace de E. C'est le sous - espace engendré par FÈ G.

 

Définition :

On dit que F et G sont en somme directe si et seulement si FÇ G = {0}

si et seulement si tout élément de F + G a une écriture unique sous la forme x + y, xÎ F, yÎ G

si et seulement si " xÎ F, " yÎ G, x + y =0 Þ x=y=0

Lorsque F et G sont en somme directe, F + G est noté F Å G.

 

Définition :

F et G sont supplémentaires dans E si et seulement si F et G sont en somme directe et F Å G=E

si et seulement si F + G = E et FÇ G = {0}

si et seulement si tout élément z de E a une décomposition unique sous la forme z =x + y, xÎ F, yÎ G.

 

On généralise facilement les 2 notions à une somme finie de sous - espaces.

 

6) Projecteurs

 

E = F Å G et x = y + z, xÎ E, yÎ F, zÎ G.

 

Définition :

L'application p définie par : p(x) = y est un endomorphisme. p est le projecteur sur F parallèlement à G.

 

Propriétés : - Im p = F et Ker p = G

- p o p = p ( o désignant le produit de composition)

- les valeurs propres de p sont 1 et 0

 

Théorème :

Soit fÎ L(E).

Si f o f = f, alors f est un projecteur sur Im f parallèlement à Ker f.

On a alors : E = Im f Å Ker f.

 

7) Symétries et affinités

 

E = F Å G et x = y + z, xÎ E, yÎ F, zÎ G.

 

Définition :

La symétrie par rapport à F et parallèlement à G est l'application s telle que : s(x) = y - z.

 

Propriétés : - s o s = Id et s-1 = s (involution)

- s est linéaire

- les valeurs propres de s sont 1 et -1

 

Théorème :

Soit fÎ L(E).

Si f o f = f, alors f est une symétrie par rapport à Ker (f - Id) parallèlement à Ker (f + Id).

 

Définition :

L'affinité de base F de direction G de rapport t est l'application f : f(x) = y + tz.

 

Remarque : - si t = 0, f est un projecteur

- si t = -1, f est une symétrie

- si t = 1, f est l'identité

 

8) Le théorème fondamental

 

f Î L(E, F).

Soit S un supplémentaire du noyau de f.

f induit alors un isomorphisme de S vers Im f.

 

 

B) Théorie de la dimension

 

1) Espace vectoriel de dimension finie

 

3 idées importantes :

- soit (ei)iÎ I une famille libre et aÏ Vect (ei) alors la famille obtenue en ajoutant a à (ei) est libre

- soit D une famille liée, e un vecteur de D combinaison linéaire des autres vecteurs de D et D' la famille obtenue en enlevant e à D, alors Vect D' = Vect D

- si dans E, p vecteurs sont combinaison linéaire de q vecteurs avec q<p alors les p vecteurs forment une famille liée.

 

2) Notion de dimension finie

 

Théorème :

Il y a équivalence entre : i) E admet une famille finie génératrice finie

ii) les familles libres ont un cardinal borné

 

Définition :

Un espace vectoriel dans lequel une de ces propriétés est vérifiée est dit de dimension finie.

 

Théorèmes :

- un espace vectoriel de dimension finie admet une base finie

- toutes les bases ont même cardinal.

 

Définition :

dim E = card BB est une base de E.

 

 

 

 

Théorème de la base incomplète :

E de dimension finie.

Une famille libre peut être complétée en une base.

Plus précisément, si L est une famille libre de E et si G est une famille génératrice de E, on peut compléter L en une base de E à l'aide de vecteurs de G.

 

Conséquences : dim E = n

- une famille libre de n vecteurs est une base.

- le cardinal d'une famille libre est inférieure ou égal à n

- une famille libre de moins de n vecteurs peut être complétée en une base de E

 

- une famille génératrice de n vecteurs est une base

- le cardinal d'une famille génératrice est supérieure ou égal à n

- d'une famille génératrice, on peut extraire une base de E.

 

Remarque :

En dimension finie, l'existence de bases est assurée alors qu'en dimension infinie, les bases existent que si on accepte l'axiome du choix.

 

3) Dimension des sous - espaces

 

E de dimension finie.

Si F est un sous - espace vectoriel de E alors :

- F est de dimension finie

- dim F £ dim E

- dim F = dim E Û F = E

- F admet des supplémentaires dans E (dépend de l'axiome du choix en dimension infinie).

 

4) Dimension d'une somme

 

F et G deux sous - espaces de dimension finie.

 

Propriétés :

- F + G est de dimension finie

- dim (F + G) £ dim F + dim G. Mieux : dim (F + G) = dim F + dim G - dim (FÇ G)

- si F et G sont en somme directe, dim (F + G) = dim F + dim G et on obtient une base de

F + G en réunissant une base de F et une base de G

 

On a des résultats analogues en considérant une somme finie de sous - espaces.

 

Propriété :

E = F Å G Û E = F + G et dim E = dim F + dim G

Û FÇ G = {0} et dim E = dim F + dim G

 

 

 

Propriétés :

- la dimension d'un produit d'espaces est la somme des dimension s de chaque espace.

- dim L(E, F) = dim E * dim F.

 

5) rang d'une application linéaire

 

Rang d'une famille de vecteurs :

F une famille de vecteurs.

On dit que F est de rang fini si et seulement si Vect F est de dimension finie.

Si F est de rang finie, rg F = dim (Vect F).

 

Rang d'une application linéaire :

fÎ L(E, F).

On dit que f est de rang fini si et seulement si Im f est de dimension finie.

Si f est de rang fini, rg f = dim (Im f).

 

6) Théorème du rang

 

fÎ L(E, F).

Théorème :

Si E est de dimension finie et f est un isomorphisme alors F est de dimension finie et

dim E = dim F.

 

Théorème du rang :

dim E = rg f + dim Ker f

 

Remarque :

Bien sûr, on n'a pas : E = Im f Å Ker f sauf si f est un projecteur.

 

Conséquences :

rg f £ dim E Û f est injective.

rg f £ dim f Û f est bijective.

 

Théorème :

Si E et F sont de même dimension, cette dimension étant finie, alors :

f injective Û f surjective Û f bijective.

 

Rang d'un produit :

fÎ L(E, F), gÎ L(F, G).

rg (f o g) £ rg g et rg (f o g) £ rg f.

Si f est bijective, rg (g o f) = rg g.

Si g est bijective, rg (g o f) = rg f.

 

 

 

FIN