Espace euclidien

 

 

 

Un espace euclidien E est un espace préhilbertien réel de dimension finie.

 

 

I) Automorphismes orthogonaux

 

Théorème :

fÎ L(E).

Il y a équivalence entre : i) f conserve le produit scalaire i.e. " x, y, <f(x) | f(y)> = <x | y>.

ii) f conserve la norme i.e. " x, | | x | | = | | f(x) | | .

 

Définition :

Si f vérifie i) ou ii) alors f est injectif donc bijectif donc f est un automorphisme.

Un automorphisme orthogonal de E est un automorphisme de E vérifiant i) ou ii).

 

O(E) est l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E.

(O(E) ,o) est le groupe orthogonal de E.

 

Propositions :

- B une base orthonormée. fÎ O(E) Û f(B) est une base orthonormée.

- soit A la matrice de f dans une base orthonormée. fÎ O(E) Û tA.A = I.

 

Définition :

On note O(n) = {AÎ Mn(r) / tA.A = I} qui est un groupe.

AÎ Mn(r) est dite orthogonale si et seulement si tA.A = I.

 

Propriétés :

- si AÎ O(n) alors A est inversible et A-1 = tA.

- si AÎ O(n) alors det AÎ {-1, 1}. Réciproque fausse.

 

Définition :

Le groupe spécial orthogonal de E noté SO(E) ou O+(E) est l'ensemble des éléments de O(E) de déterminant +1. Ces éléments sont appelés des rotations.

O-(E) est l'ensemble des automorphismes de déterminant -1. Ce n'est pas un groupe.

 

On peut montrer que O(E) est engendré par les réflexions de E.

 

Définition :

On montre qu'il n'existe que deux orientations possibles pour une base (2 classes d'équivalence).

Un espace orienté est un espace réel de dimension finie dans lequel on a choisi l'une des deux classes d'équivalence, que l'on a appelé classe des bases directes et l'autre classe des bases indirectes.

fÎ GL(E). f conserve le sens des bases si et seulement si det f >0.

 

 

Changement de base :

B une base orthonormée et P la matrice de passage de B à B'.

B' est une base orthonormée si et seulement si PÎ O(n).

B' est une base orthonormée de même sens que B si et seulement si PÎ SO(E).

 

Produit mixte :

E euclidien orienté de dimension n.

B une base orthonormée.

u1, ..., unÎ E.

det(B) (u1, ..., un) est indépendant de B.

On l'appelle produit mixte de u1, ..., un noté [u1, ...,un] ou Det (u1, ..., un).

 

 

II) Adjoint d'un endomorphisme

 

Définition :

fÎ L(E).

Il existe alors une unique application g dans L(E) tel que : " x, y, <x | f(y)> = <g(x) | y>.

g est appelé l'adjoint de f et on note g = f *.

 

Exemples :

- fÎ O(E) Û f * = f-1.

- f est un projecteur orthogonal Û f * = f.

 

Propriétés de l'adjoint :

- la matrice de l'adjoint dans une base orthonormée est égal à la transposée de la matrice de f.

- " f, gÎ L(E) " a, bÎ r, (af + bg)* = af * + bg *.

(f * )* = f.

(f o g)* = g * o f *.

- si fÎ GL(E), f *Î GL(E). et (f *)-1 = (f-1) *.

- rg f * = rg f.

-det f * =det f.

- Ker f * = (Im f)^ .

- Im f * = (Ker f)^ .

- si S sous - espace de E est stable par f alors S^ est stable par f *.

 

 

III) Endomorphismes symétriques

 

Définition :

f est symétrique si et seulement si f * =f (On dit que f est autoadjoint).

f est symétrique si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée est symétrique.

 

Propriétés si f est symétrique :

- Ker f = (Im f)^ .

- si S est stable par f, S^ est stable par f.

- les sous - espaces propres de f sont 2 à 2 orthogonaux.

 

Théorème :

Soit fÎ L(E).

f est symétrique si et seulement si f est diagonalisable en base orthonormée.

 

Lemme :

Le polynôme caractéristique de f est scindé sur r.

 

Réduction des matrices symétriques réelles :

AÎ Mn(r).

A est symétrique si et seulement si $ PÎ O(n),D diagonale, A = PDP-1.

 

Définition :

Soit A symétrique réelle.

A est dite positive si et seulement si ses valeurs propres sont positives.

A est dite définie positive si et seulement si ses valeurs propres sont strictement positives.

 

 

IV) Formes quadratiques

 

Définition :

Une forme quadratique q est une application de E dans r telle qu'il existe une forme bilinéaire symétrique f tel que " x, q(x) = f(x, x).

 

Théorème :

f est unique et est appelée la forme polaire de q.

 

Expression matriciel :

Si B = (e1, ..., en) est une base de E, A = (f(ei, ej))1£ i, j£ n est la matrice de f dans cette base donc

f(x, y) = tXAY.

On dit alors que A est la matrice de q dans la base B.

f est symétrique si et seulement si A est symétrique.

 

Endomorphisme symétrique canoniquement associé à une forme quadratique :

Soit uÎ L(E) tel que A = matr u où A est une matrice symétrique.

" x, q(x) = tXAX.

u est symétrique car A est symétrique et " x, q(x) = <x, u(x)>.

u, f, q ont même matrice. u est l'endomorphisme symétrique canoniquement associé à q.

 

Proposition :

On peut trouver une base orthonormée dans laquelle l'expression de la forme quadratique ne comporte que des termes carrés i.e. dans laquelle la matrice de q est diagonale.

Une telle base est une base de vecteurs propres de u.

 

 

 

 

 

 

V) Expression des rotation en dimension 2 et 3

 

En dim 2:

On peut montrer que toute rotation (i.e. tout élément de SO(E)) a une matrice de la forme :

En dim 3 :

On peut montrer que toute rotation (i.e. tout élément de SO(E)) a une matrice de la forme :

le troisième vecteur étant l'axe de rotation.

 

Méthode de recherche d'une image par une rotation d'axe donné :

le mieux est de traiter un exemple (tiré d'un sujet d'oral ...) :

Dans un repère orthonormé de l'espace usuel, on donne les droites d'équation :

D : x = y = 0 et D' : x = y = z.

Déterminer l'image de D par une rotation d'axe D' et d'angle de mesure p /6.

Réponse :

D et D' passe par O, on se place dans l'espace vectoriel euclidien r3, rapporté à sa base

canonique orthonormale directe B = (i, j, k).

Considérons une nouvelle base orthonormée directe B' = (I, J, K) telle que K soit porté

par D'. On peut prendre : K = (i + j + k)/3 ; I = (i - j)/2 et J = K Ù I = (i + j -2k)/6 .

La matrice de passage de B à B' est : P =

avec P-1 = tP.

On peut supposer que D' est orienté par K (quitte à changer K en -K).

Soit la rotation R1 donnée par : matr (B') R1 =

D est dirigée par k donc R1 (D) est dirigé par R1 (k) dont les coordonnées dans B

forment la 3eme colonne de matr (B) R1. Or matr (B) R1 = P.matr (B') R1.P-1

(démonstration en explicitant chaque changement de base dans l'ordre) et un calcul standard donne :

R1 (k) = i/3 + (1/3 - 1/3 ) j + (1/3 - 1/3 ) k.

donc R1 (D) est la droite vectorielle engendré par (1, 1 - 3 , 1 + 3 ).

 

Cqfd.

Produit vectoriel :

u, vÎ E.

u Ù v est l'unique vecteur de E tel que " xÎ E, [u, v, x] = (u Ù v)× x

 

Propriétés :

- le produit vectoriel est une application bilinéaire

- u Ù v = 0 si et seulement si (u, v) est liée

- formule du double produit vectoriel : u Ù (v Ù w) = (u Ù w)× v - (u Ù v)× w.

 

Endomorphisme antisymétrique en dimension 3 :

fÎ L(E) est antisymétrique si et seulement si f * = -f.

si et seulement si " x <x, f(x)> = 0.

Théorème :

les endomorphismes antisymétriques sont les applications x ® u Ù x, uÎ E.

 

 

 

 

 

 

FIN