Espace euclidien
Un espace euclidien E est un espace préhilbertien réel de dimension finie.
I) Automorphismes orthogonaux
Théorème :
fÎ L(E).
Il y a équivalence entre : i) f conserve le produit scalaire i.e. " x, y, <f(x) | f(y)> = <x | y>.
ii) f conserve la norme i.e. " x, | | x | | = | | f(x) | | .
Définition :
Si f vérifie i) ou ii) alors f est injectif donc bijectif donc f est un automorphisme.
Un automorphisme orthogonal de E est un automorphisme de E vérifiant i) ou ii).
O
(E) est l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E.(O(E) ,o) est le groupe orthogonal de E.
Propositions :
- B une base orthonormée. fÎ O(E) Û f(B) est une base orthonormée.
- soit A la matrice de f dans une base orthonormée. fÎ O(E) Û tA.A = I.
Définition :
On note O(n) = {AÎ Mn(r) / tA.A = I} qui est un groupe.
AÎ Mn(r) est dite orthogonale si et seulement si tA.A = I.
Propriétés :
- si AÎ O(n) alors A est inversible et A-1 = tA.
- si AÎ O(n) alors det AÎ {-1, 1}. Réciproque fausse.
Définition :
Le groupe spécial orthogonal de E noté SO(E) ou O+(E) est l'ensemble des éléments de O(E) de déterminant +1. Ces éléments sont appelés des rotations.
O
-(E) est l'ensemble des automorphismes de déterminant -1. Ce n'est pas un groupe.
On peut montrer que O(E) est engendré par les réflexions de E.
Définition :
On montre qu'il n'existe que deux orientations possibles pour une base (2 classes d'équivalence).
Un espace orienté est un espace réel de dimension finie dans lequel on a choisi l'une des deux classes d'équivalence, que l'on a appelé classe des bases directes et l'autre classe des bases indirectes.
fÎ GL(E). f conserve le sens des bases si et seulement si det f >0.
Changement de base :
B
une base orthonormée et P la matrice de passage de B à B'.B
' est une base orthonormée si et seulement si PÎ O(n).B
' est une base orthonormée de même sens que B si et seulement si PÎ SO(E).
Produit mixte :
E euclidien orienté de dimension n.
B
une base orthonormée.u1, ..., unÎ E.
det(B) (u1, ..., un) est indépendant de B.
On l'appelle produit mixte de u1, ..., un noté [u1, ...,un] ou Det (u1, ..., un).
II) Adjoint d'un endomorphisme
Définition :
fÎ L(E).
Il existe alors une unique application g dans L(E) tel que : " x, y, <x | f(y)> = <g(x) | y>.
g est appelé l'adjoint de f et on note g = f *.
Exemples :
- fÎ O(E) Û f * = f-1.
- f est un projecteur orthogonal Û f * = f.
Propriétés de l'adjoint :
- la matrice de l'adjoint dans une base orthonormée est égal à la transposée de la matrice de f.
- " f, gÎ L(E) " a, bÎ r, (af + bg)* = af * + bg *.
(f * )* = f.
(f o g)* = g * o f *.
- si fÎ GL(E), f *Î GL(E). et (f *)-1 = (f-1) *.
- rg f * = rg f.
-det f * =det f.
- Ker f * = (Im f)^ .
- Im f * = (Ker f)^ .
- si S sous - espace de E est stable par f alors S^ est stable par f *.
III) Endomorphismes symétriques
Définition :
f est symétrique si et seulement si f * =f (On dit que f est autoadjoint).
f est symétrique si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée est symétrique.
Propriétés si f est symétrique :
- Ker f = (Im f)^ .
- si S est stable par f, S^ est stable par f.
- les sous - espaces propres de f sont 2 à 2 orthogonaux.
Théorème :
Soit fÎ L(E).
f est symétrique si et seulement si f est diagonalisable en base orthonormée.
Lemme :
Le polynôme caractéristique de f est scindé sur r.
Réduction des matrices symétriques réelles :
AÎ Mn(r).
A est symétrique si et seulement si $ PÎ O(n),D diagonale, A = PDP-1.
Définition :
Soit A symétrique réelle.
A est dite positive si et seulement si ses valeurs propres sont positives.
A est dite définie positive si et seulement si ses valeurs propres sont strictement positives.
IV) Formes quadratiques
Définition :
Une forme quadratique q est une application de E dans r telle qu'il existe une forme bilinéaire symétrique f tel que " x, q(x) = f(x, x).
Théorème :
f est unique et est appelée la forme polaire de q.
Expression matriciel :
Si B = (e1, ..., en) est une base de E, A = (f(ei, ej))1£ i, j£ n est la matrice de f dans cette base donc
f(x, y) = tXAY.
On dit alors que A est la matrice de q dans la base B.
f est symétrique si et seulement si A est symétrique.
Endomorphisme symétrique canoniquement associé à une forme quadratique :
Soit uÎ L(E) tel que A = matr u où A est une matrice symétrique.
" x, q(x) = tXAX.
u est symétrique car A est symétrique et " x, q(x) = <x, u(x)>.
u, f, q ont même matrice. u est l'endomorphisme symétrique canoniquement associé à q.
Proposition :
On peut trouver une base orthonormée dans laquelle l'expression de la forme quadratique ne comporte que des termes carrés i.e. dans laquelle la matrice de q est diagonale.
Une telle base est une base de vecteurs propres de u.
V) Expression des rotation en dimension 2 et 3
En dim 2:
On peut montrer que toute rotation (i.e. tout élément de SO(E)) a une matrice de la forme :
En dim 3 :
On peut montrer que toute rotation (i.e. tout élément de SO(E)) a une matrice de la forme :
le troisième vecteur étant l'axe de rotation.
Méthode de recherche d'une image par une rotation d'axe donné :
le mieux est de traiter un exemple (tiré d'un sujet d'oral ...) :
Dans un repère orthonormé de l'espace usuel, on donne les droites d'équation :
D : x = y = 0 et D' : x = y = z.
Déterminer l'image de D par une rotation d'axe D' et d'angle de mesure p /6.
Réponse :
D et D' passe par O, on se place dans l'espace vectoriel euclidien r3, rapporté à sa base
canonique orthonormale directe B = (i, j, k).
Considérons une nouvelle base orthonormée directe B' = (I, J, K) telle que K soit porté
par D'. On peut prendre : K = (i + j + k)/3½ ; I = (i - j)/2½ et J = K Ù I = (i + j -2k)/6½ .
La matrice de passage de B à B' est : P =
avec P-1 = tP.
On peut supposer que D' est orienté par K (quitte à changer K en -K).
Soit la rotation R1 donnée par : matr (B') R1 =
D est dirigée par k donc R1 (D) est dirigé par R1 (k) dont les coordonnées dans B
forment la 3eme colonne de matr (B) R1. Or matr (B) R1 = P.matr (B') R1.P-1
(démonstration en explicitant chaque changement de base dans l'ordre) et un calcul standard donne :
R1 (k) = i/3 + (1/3 - 1/3½ ) j + (1/3 - 1/3½ ) k.
donc R1 (D) est la droite vectorielle engendré par (1, 1 - 3½ , 1 + 3½ ).
Cqfd.
Produit vectoriel :
u, vÎ E.
u Ù v est l'unique vecteur de E tel que " xÎ E, [u, v, x] = (u Ù v)× x
Propriétés :
- le produit vectoriel est une application bilinéaire
- u Ù v = 0 si et seulement si (u, v) est liée
- formule du double produit vectoriel : u Ù (v Ù w) = (u Ù w)× v - (u Ù v)× w.
Endomorphisme antisymétrique en dimension 3 :
fÎ L(E) est antisymétrique si et seulement si f * = -f.
si et seulement si " x <x, f(x)> = 0.
Théorème :
les endomorphismes antisymétriques sont les applications x ® u Ù x, uÎ E.
FIN