x 
A , x * 0 = 0 * x = 0x A , x * 0 = 0 * x = 0
Soit x un élément quelconque de A.
On a: x = x * 1 = x * (0 + 1) = (x * 0) + (x * 1) = (x * 0) +
x
D'où: x - x = (x * 0) + x - x
Et: 0 = (x * 0) + 0 = (x * 0)
On a aussi: x = 1 * x = (0 + 1) * x = (0 * x) + (1 * x) = (0 * x)
+ x
D'où: x - x = (0 * x) + x - x
Et: 0 = (0 * x) + 0 = (0 * x)
(x,y) A² , (-x) * y = -(x * y) = x * (-y)
(x,y) A² , (-x) * (-y) = x * y
Soient x et y deux éléments quelconques de A.
On a: (x * y) + ( (-x) * y) = (x + (-x)) * y = 0 * y = 0
D'où: (-x) * y = -(x * y)
Et: (x * y) + (x * (-y)) = x * (y + (-y)) = x * 0 = 0
D'où: x * (-y) = -(x * y)
Il vient: (-x) * (-y) = -(x * (-y)) = -(-(x * y)) = x * y
(a,b,c,d) A4 , (a + b) * (c + d) = a * c + a
* d + b * c + b * d
Soient a, b, c, d des éléments quelconques de A.
On a: (a + b) * (c + d) = a * (c + d) + b * (c + d) = a * c + a * d + b * c + b * d
x A , n N ,
(n + 1)x = x + (nx)
x A , n N ,
xn + 1 = x * (xn)
Soient n un entier naturel et x un élément de A.
Le premier résultat provient de l'axiome (i): (A,+) est un
groupe abélien; en effet, la commutativité de
l'addition donne:
(n + 1)x = nx + x =x + nx
Le second résultat se démontre par
récurrence.
Il est trivialement vrai au rang 0:
x = x * 1 = x * (x0)
Supposons le résultat vrai au rang n. On a alors:
xn + 2 = (xn + 1) * x = (x * (xn)) *
x = x * ((xn) * x) = x * (xn + 1)
Le résultat est démontré par récurrence
pour tout entier naturel n.
x A , n Z ,
nx = (n1A) * x = x * (n1A)
(x,y) A² , n
Z , (nx) * y = x * (ny) = n(x * y)
x A , (n,p)
Z² , nx + px = (n + p)x
Soient n et p deux entiers relatifs quelconques et x et y deux éléments quelconques de A.
Le premier résultat se démontre par
récurrence sur les entiers positifs, puis se
généralise aux entiers relatifs.
Il est trivialement vrai si n=0:
0x = 0A = 0 * x = (0.1A) * x = x *
(0.1A)
Si n est un entier naturel, on a:
(n + 1)x = nx + x = (n1A) * x + 1A * x =
(n1A + 1A) * x = ((n + 1)1A) * x
(n + 1)x = nx + x = x * (n1A) + x * 1A = x *
(n1A + 1A) = x * ((n + 1)1A)
Le résultat se généralise donc par
récurrence aux entiers Naturels.
Enfin, si n est strictement négatif, on a:
nx = -(-n)x = -(-n1A * x) = -(-n1A) * x =
(n1A) * x
nx = -(x * (-n1A)) = x * (-(-n1A)) = x *
(n1A)
Le résultat est donc démontré pour tout entier
relatif n.
Les deux autres résultats découlent du premier:
(nx) * y = ((n1A) * x) * y = (n1A) * (x * y) = n(x * y) = (x * y) * (n1A) = x * (y * (n1A)) = x * (ny)
nx + px = ((n1A) * x) + ((p1A) * x) =
(n1A + p1A) * x
Reste à montrer que (n1A + p1A) = (n +
p)1A. Ca se fait par récurrence, mais c'est bourrin et peu
interessant; il faut vraiment que je le fasse?
Soient a et b deux éléments de A tels que a * b = b * a
Alors :
Par récurrence:
Le résultat est vrai pour n=0:
Supposons-le vrai au rang n; on a alors:
En faisant le changement de variable q=p+1 dans le premier terme, on
obtient:
Or on sait que:
D'où:
Le résultat est donc démontré par
récurrence.
L'intersection d'une famille d'idéaux est un idéal.
Soit (A,+,*) un anneau, soit E un ensemble, et soit {Ie ; e
I est un sous-groupe de (A,+) car tous les (Ie,+) sont des sous-groupes.
Soit i un élément quelconque de I, et soit a un élément quelconque de A. On a
Donc
Et
C'est-à-dire x*i
I est donc un idéal de A.
Si I est un idéal de A et si I contient un élément inversible de A, alors I=A.
Soit i un élément inversible de I. Alors I contient 1=i*i-1. DoncI; or par définition de I, on a I
Soient (A,+,*) et (B,T,o) deux anneaux, et soit f un morphisme de A vers B.
Alors Kerf est un idéal de A.
Kerf; Kerf est un sous-groupe de (A,+).
Kerf.Kerf.Soient (A,+,*) et (B,T,o) deux anneaux, soit f un morphisme de A vers B.
f est injectif si et seulement si f(0A) = 0B.
Kerf, donc x-x' = 0A, c'est-à-dire x=x'.Soit (A,+,*) un anneau quelconque. A est un corps si et seulement s'il a exactement deux idéaux: A et {0A}.