Définition :
Soit E un ensemble.
On appelle suite presque nulle sur E, une suite (an)nN
d'éléments de E, nulle à partir d'un certain rang.
Définition :
Soit A un anneau commutatif et b une suite presque nulle sur A.
On appelle polynôme à une indéterminée
X à coefficients dans A,
P = 
On note A[X] l'ensemble des polynômes à une indéterminée
X à coefficients dans A.
Soit A un anneau commutatif.
Il y a bijection entre l'ensemble des suites presques nulles sur A et celui des polynômes à coefficients dans A, c'est-à-dire A[X].
On appellera suite presque nulle canoniquement associée
au polynôme P, la suite (an) telle que
P=
€ Voir démonstration
Remarque :
- Le polynôme associé à la suite nulle est
appelé polynôme nul.
Degré d'un polynôme.
Soit P un polynôme à coefficients dans un anneau A.
Soit (an) la suite presque nulle associée à P.
Posons B = { k; k ÎN, ak ¹ 0 }
On a B Î P(N) et B est majoré car (an) est une suite presque nulle.
Si B est non vide alors B possède un maximum, deg(P), appelé degré de P.
Sinon, on a :
" n ÎN, an = 0
donc P est le polynôme nul.
Par convention, on posera deg(P) = -¥
Remarque :
- Convention non universelle .....
Coefficient dominant
Soit P un polynôme à coefficients dans un anneau A, différent du polynôme nul.
Soit (an) la suite presque nulle associée
On note n le degré de P.
On appelle coefficient dominant du polynôme P le terme an.
Polynôme unitaire
Egalité de deux polynômes.
Soit P et Q deux polynômes à coefficients dans le même anneau.
Considérons la relation binaire suivante :
(P = Q) ssi ils sont associés à la même suite presque nulle.
C'est une relation d'équivalence. Deux polynômes
vérifiant cette relation seront dits égaux.