Démonstrations de l'article sur l'exponentielle d'endomorphisme et de matrice.

Proposition II.1

-Enoncé

Soit f L_c(E).

Alors
exp(f) L_c(E).

-Démonstration

Cette proposition résulte d'un théorème de l'article sur les séries entières d'endomorphismes.

Proposition II.2

-Enoncé

L'application L_c(E) L_c(E),f exp(f) est continue.

-Démonstration

Cette proposition résulte d'un théorème de l'article sur les séries entières d'endomorphismes.

Inégalité entre les exponentielles.

-Enoncé

Soit f L_c(E).

Alors
|||exp(f)||| exp(|||f|||)

Soit n N.

On a:
Soit, en faisant tendre n vers l'infini,
|||exp(f)||| exp(|||f|||)

Proposition II.3

-Enoncé

Soit u L_c(E).

Si u² = u, alors
exp(u) = Id + (e - 1).u

Soit u L_c(E).

On a u² = u.
Donc, n N*, uⁿ = u
Donc exp(u) =
Comme = (e - 1)
alors exp(u) = Id + u.(e - 1)

Proposition II.4

-Enoncé

Soit A M_n(K).

Si A = Diag [a₁, a₂, ..., a_n] alors

exp(A) = Diag [exp(a₁), exp(a₂), ..., exp(a_n)]

Si A = Diag [a₁, a₂, ..., a_n], alors A^p = Diag [a₁^p, a₂^p, ..., a_n^p]

et

donc

Proposition II.5

-Enoncé

Soient (u,v) L_c(E)²

Si u.v = v.u alors

exp (u + v) = exp(u).exp(v)

exp(u + v) =

Comme u.v = v.u, on peut appliquer la formule du binôme à (u + v)ⁿ pour tout n N.

Soit exp(u + v) =

Or donc

exp(u + v) = =

D'autre part, comme les séries et convergent absolument alors, d'après le théorème sur le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes, on a:

. =

D'où :
exp(u + v) = exp(u).exp(v)

Proposition II.6

-Enoncé

Soit u L_c(E).

Alors

exp(u) est inversible d'inverse exp(-u)

D'après la proposition II.5, comme u et -u commutent, on a alors

exp(u).exp(-u) = exp(u-u) = exp(0) = 1

Il vient donc que exp(u) est inversible d'inverse exp(-u).

Proposition II.7

-Enoncé

Soit A M_n(C).

Alors

det(exp(A)) = exp(Tr(A))

Soit A M_n(C).

D'après le cours sur les matrices, il vient que A est semblable à une matrice triangulaire supérieure. Il existe donc P Gl_n(C) et T M_n(C) triangulaire supérieure tels que :

A = P^-1TP

D'après la proposition I.1 de l'article sur l'exponentielle d'endomorphisme, il vient, comme la trace et le déterminant sont des invariants de similitude,

Tr(A) = Tr(T)

et det(exp(A)) = det(exp(T))

Soient a₁, a₂, ..., a_n les coefficients sur la diagonale de T. Il vient alors que

p N, a₁^p, a₂^p, ..., a_n^p sont les coefficients de T^p.

On en déduit alors que les coefficients sur la diagonale de exp(T) sont exp(a₁), exp(a₂), ..., exp(a_n). Comme toutes les puissances de T sont triangulaires supérieures, il en est de même pour exp(T).

Donc det(exp(T)) est le produit des coefficients de la diagonale de exp(T), soit :

det(exp(T)) =

Or Tr(T) = , et donc

exp(Tr(T)) = exp() =

Finalement exp(Tr(T)) = det(exp(T)), donc

exp(Tr(A)) = det(exp(A))

Voir l'article sur les matrices triangulaires.

Proposition II.8

-Enoncé

Si A est antisymétrique, alors exp(A) est une matrice orthogonale directe.

Comme A est antisymétrique, ^tA = -A, donc exp(^tA) = exp(-A).

D'après la proposition II.6, exp(-A) = exp(A)^-1

Donc exp(^tA) = exp(A)^-1.

Donc exp(A) est orthogonale.

D'après la proposition II.7, on a

det(exp(A)) = exp(Tr(A))

Or A est antisymétrique donc Tr(A) = 0.

D'où, comme exp(0) = 1

det(exp(A)) = 1

Finalement, exp(A) est une matrice orthogonale directe.

Version actuelle :
Février 1997

Auteur :
Pascal Audoux

Relecteurs :
Sources :
" Les maths en tête, Algèbre ", Xavier GOURDON (coll. Ellipses)
Cours de Mathématiques Spéciales de M. Botta (XM2 95-96)