Le but de cet article est de présenter la définition et les principales propriétés de l'exponentielle d'endomorphisme et de matrice, en soulignant leur utilité dans le calcul pratique de la valeur d'une exponentielle.

I. Définitions

-Cadre d'étude

Soit E un K-espace de Banach.

L_c(E) muni de la " norme triple " :

f Lc(E), |||f||| = ||f(x)||

est alors un K-espace de Banach.

-Exponentielle d'un endomorphisme

• D'après l'étude faite sur les séries entières d'endomorphismes, comme est une série entière de rayon de convergence infini, si f L_c(E), alors on peut définir

  = exp(f) appelée exponentielle de f.
  

  Il faut maintenant s'interroger sur la possibilité d'une définition matricielle de l'exponentielle d'un endomorphisme, c'est-à-dire sur l'invariance par changement de base.
  

• Soit u Lc(E). Soit v Lc(E) avec v inversible et v ^-1 L_c(E).

  On sait alors que pour tout entier n, (v^-1uv)ⁿ = v^-1 uⁿ v.

  Donc exp(v^-1uv) = = = = v^-1.exp(u).v .

  Soit B une base de E.

  Soit A la matrice de u dans B : A = Mat(B, u).

  Définissons l'exponentielle de A par

  exp(A) = Mat(B, exp(u))

  Soit B' une autre base de E.

  Soit A' la matrice de u dans B'.

  Il existe alors P Gl_n(K) telle que A' = P^-1AP.

  Soit v l'endomorphisme tel que P = Mat(B, v). On a alors v Lc(E) avec v inversible et v^-1 L_c(E).

  Et il vient P^-1 = Mat(B, v^-1).

  exp(A') = Mat(B, exp (v^-1 uv)).

  exp(A') = Mat(B, v^-1 exp(u) v)

  exp(A') = Mat(B, v^-1).Mat(B, exp(u)).Mat(B, v)

  exp(A') = P^-1.Mat(B, exp(u)).P

  exp(A') = P^-1.exp(A).P

  La définition de l'exponentielle de matrice est donc légitime et l'on obtient

  exp(A) =
  

  Il vient de cette étude :

-Proposition I.1

Soit u L_c(E).
Soit v L_c(E), inversible avec v^-1 L_c(E).

Alors :
exp(v^-1uv) = v^-1.exp(u).v .
C'est-à-dire matriciellement :
Soient A et A' M_n(K).
Si A et A' sont P-semblables (avec P GL_n(K)) alors exp(A) et exp(A') sont aussi P-semblables.

• Le but de ce paragraphe est de présenter les principales propriétés des exponentielles d'endomorphismes et de matrices, en insistant notamment sur les propositions qui peuvent permettre de faciliter le calcul de cette exponentielle.
  

  La définition de l'exponentielle d'endomorphisme sous la forme de série entière d'endomorphisme permet de déduire ses premières propriétés.

• Proposition II.1

  Soit f L_c(E).
  Alors
  exp(f) L_c(E).
  
  Voir démonstration
  

• Proposition II.2

  L'application Lc(E)
  L_c(E),f exp(f) est continue.
  
  Voir démonstration

• On déduit aussi de la définition :
  

  Soit f L_c(E).
  Alors
  |||exp(f)||| exp(|||f|||)
  
  Voir démonstration
  

• Il semble évident que si les puissances de l'endomorphisme sont facilement calculables, l'utilisation de la définition de l'exponentielle permet de déterminer sa valeur.

  C'est le cas en particulier des endomorphismes idempotents comme le montre la proposition suivante :

  Proposition II.3

  Soit u L_c(E).
  Si u² = u, alors
  exp(u) = Id + (e - 1).u
  
  Voir démonstration
  

  Version matricielle

  Soit A M_n(K).
  Si A² = A, alors
  exp(A) = I_n + (e - 1).A
  
  Voir démonstration
  

• Une autre méthode de calcul de l'exponentielle s'appuie sur la proposition I.1, c'est-à- dire l'invariance par changement de base. Il faut réduire la matrice dans une forme où il est plus simple de calculer son exponentielle (triangulaire, diagonale...). Dans le cas d'une matrice diagonale, la proposition suivante permet de calculer aisément son exponentielle :
  

  Proposition II.4

  Soit A M_n(K).
  Si A = Diag [a₁, a₂, ..., a_n] alors
  exp(A) = Diag [exp(a₁), exp(a₂), ..., exp(a_n)]
  
  Voir démonstration
  
  Voir exemple d'utilisation de cette méthode.
  

• Nous allons maintenant démontrer un résultat sur l'exponentielle d'une somme qui ressemble à celui de l'exponentielle classique dont nous avons l'habitude.
  

  Proposition II.5

  Soient (u,v) L_c(E)²
  
  Si u.v = v.u alors
  exp (u + v) = exp(u).exp(v)
  
  Voir démonstration
  

  Note : Dans le cas où u et v ne commutent pas, le résultat est faux en général. Il faut donc se méfier lorsqu'on étudie l'exponentielle d'une matrice car M_n(K) est un anneau non commutatif.

  Cette proposition permet alors une nouvelle méthode de calcul de l'exponentielle d'une matrice, en décomposant la matrice en somme de matrice commutant entre elles et dont l'exponentielle est calculable.

  Cette méthode est applicable notamment avec les matrices diagonalisables (utilisation des projecteurs spectraux) ou, dans certains cas, en utilisant des polynômes annulateurs tels que le polynôme minimal.
  

  Voir exemple d'utilisation.
  

• Cette proposition permet aussi de déduire la proposition importante suivante :
  
  Proposition II.6

  Soit u L_c(E).
  Alors
  exp(u) est inversible d'inverse exp(-u)
  
  Voir démonstration

• Résultats annexes sur l'exponentielle d'une matrice
  
  Proposition II.7

  Soit A M_n(C)
  Alors
  det(exp(A)) = exp(Tr(A))
  
  Voir démonstration
  

  Proposition II.8

  Si A est antisymétrique, alors exp(A) est une matrice orthogonale directe.
  
  Voir démonstration

" Les maths en tête, Algèbre ", Xavier GOURDON (coll. Ellipses)
Cours de Mathématiques Spéciales de M. Botta (Saint-Louis, XM2, 95-96)