Dans tout le chapitre, l'espace vectoriel E est de dimension finie.

Définition :

Une forme linéaire est une application linéaire de E dans k.

L'ensemble des formes linéaires de E est noté E^* : c'est le dual de E.

Calcul dans une base :

B = (e₁, ..., e_n) base de E et x = (x₁, ..., x_n).

Si f est une forme linéaire alors il existe a₁, ..., a_nÎ k tel que : " xÎ E, f(x) = a₁x₁ + ... + a_nx_n.

Base duale :

Soit f_i : E ® k i - ème forme linéaire coordonnée dans la base B.

x ® x_i

B^* = (f₁, ..., f_n) est une base de E^* appelé base duale de E.

On en déduit dim E^* = dim E.

La matrice de f dans B* est la transposée de la matrice de f dans B.

Proposition :

(e₁, ..., e_n)Î E.

(f₁, ..., f_n)Î E^*.

(e₁, ..., e_n) est une base de E dont la base duale est (f₁, ..., f_n) si et seulement si :

" (i, j)Î [[1, n]]², f_i(e_j) = d _ij (symbole de Kronecker).

Changement de base :

B₀ une base de E et B_o^* sa duale.

B une base de E et B^* sa duale.

P la matrice de passage de B₀ à B et Q la matrice de passage de B₀^* à B^*.

Alors Q = ^tP^-1.

Cas d'un espace euclidien :

f_a : E ® r est une forme linéaire sur E.

x ® <a | x>

Tout élément de E^* a une écriture unique sous la forme f_a.

Orthogonalité :

Soit xÎ E et fÎ E^*.

x est orthogonal à f si et seulement si f(x) = 0.

Soit AÌ E.

L'orthogonal de A dans E^* est : { fÎ E^* / " xÎ A, f(x) = 0}. Il est noté A^o.

Soit AÌ E^*.

L'orthogonal de A dans E^* est : {xÎ E / " fÎ E^*, f(x) = 0}. On le note A⁰.

Si A est un sous - espace vectoriel de E ou de E^* alors A⁰ est un sous - espace vectoriel de E^* ou de E, dim A + dim A⁰ = dim E et A⁰⁰ = A.

Définition :

Un hyperplan de E est un sous - espace vectoriel de E de dimension dim E - 1.

H est un hyperplan si et seulement si H⁰ est une droite de E^*.

Propositions :

- fÎ E*, f¹ 0.

f est alors surjective et Ker f est un hyperplan.

- Réciproquement, si H est un hyperplan, alors il existe une forme linéaire tel que H soit son noyau.

- L'équation d'un hyperplan est : a₁x₁ + ... + a_nx_n = 0 où a₁, ..., a_nÎ k.

- Si a₁x₁ + ... + a_nx_n = 0 et a'₁x₁ + ... + a'_nx_n = 0 sont deux équations cartésiennes du même hyperplan alors il existe p tel que " i; a_i = p a'_i.

- Les supplémentaires d'un hyperplan sont les droites non contenues dans cet hyperplan.