Déterminant

 

 

 

I) Déterminant d'une famille de vecteurs

 

1) Notion d'application multilinéaire

 

Soit E et F deux k - espace vectoriel.

pÎ n, p>0.

f : Ep ® F est multilinéaire (ou p - linéaire) si et seulement si f est linéaire par rapport à chaque variable (f n'est pas linéaire).

 

Proposition :

f : Ep ® F multilinéaire.

Il y a équivalence entre :

i) " x1, ..., xpÎ E, " i ¹ j, f (x1, ..., xi, ..., xj, ..., xp) = - f (x1, ..., xj, ..., xi, ..., xp).

ii) " x1, ..., xpÎ E, " i ¹ j, si xi = xj, alors f (x1, ..., xi, ..., xj, ..., xp) = 0.

iii) " x1, ..., xpÎ E, si (x1, ..., xp) est liée alors f (x1, ..., xi, ..., xj, ..., xp) = 0.

On dit alors que f est alternée (pour ii) ou iii)) ou antisymétrique (pour i)).

 

Théorème :

On montre que l'ensemble des formes n - linéaires alternées forme une droite vectorielle. On connaît même leur expression ( qui n'est pas simple et de toute façon inutilisable pour ce qui nous intéresse ici. Ouvrer un livre si vous voulez savoir !).

 

2) Déterminant

 

Soit E de dimension n muni d'une base B.

L'application déterminant dans cette base est la forme n - linéaire alternée telle que :

det (B) B =1 (notation dans ce cours : det(A) B signifie déterminant de la famille B dans la base A).

 

Formule de changement de base :

B, B' deux bases de E et F une famille de vecteurs de E.

det(B') F = det(B') B * det(B) F.

 

De plus, on a les équivalences : F libre Û F base Û det(B) F ¹ 0.

 

 

II) Déterminant d'une matrice et d'un endomorphisme

 

Définition :

Pour A dans Mn (k), le déterminant de A est le déterminant dans la base canonique de kn de la famille des vecteurs colonnes de A.

 

 

 

Propriétés :

- det (a A) = an det A.

- AÎ Gl(n) Û det A ¹ 0.

- on ne modifie pas le déterminant en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres.

- si on permute deux colonnes, on multiplie le déterminant par -1.

- det A = det tA.

 

Techniques de calcul :

- Pour les matrices diagonales ou triangulaires, le déterminant est le produit des éléments diagonaux.

Exemple : det I = 1.

- Pour les matrices triangulaires par blocs, le déterminant est le produit des déterminants de chaque bloc.

Exemple : = .

(pour les matrices 2*2, on utilise la " règle du gamma ").

- Déterminant de Vandermonde : pour (an)nÎ cn, c'est le déterminant du type :

=

- Développement par rapport une ligne ou une colonne :

à savoir faire absolument (sans faire d'erreur de signe) !!

Exemple : = 2* en développant par rapport à la 1er colonne. La méthode est surtout intéressantes lorsqu'il y a des zéros.

- Dans le cas général, il faut utiliser les méthodes de simplification grâce aux propriétés en priant pour qu'il y ait des simplifications !

 

Remarque :

Ce qui peut être fait sur les colonnes peut aussi être fait sur les lignes.

 

Enfin, on définit le déterminant d'un endomorphisme par analogie avec le déterminant d'une matrice (identification habituelle et transport de la notion par isomorphisme ...).

 

 

FIN