Ensembles et applications

I. Définitions
II. Cardinal d'un ensemble
III. Lois de composition
IV. Relations binaires
V. Décomposition canonique d'un application

Introduction :

Le but de ce chapitre est d'introduire des notions de base de la théorie des ensembles comme préliminaire indispensable à l'étude de l'algèbre. Ce chapitre ne se veut en aucun cas une étude complète, bien trop complexe pour une introduction; nous n'étudierons notamment les notions "abstraites", comme les ensembles ou les cardinaux, que lorsque cela s'avérera utile pour les cours consacrés aux structures algébriques, et plus par leurs propriétés que par leurs définitions.

I. Définitions

- Ensemble :

Un ensemble est défini comme une collection d'objets, notion que nous considérerons par la suite comme intuitive. Toutefois, toute collection d'objets ne constitue pas un ensemble; nous verrons par exemple plus loin que "l'ensemble de tous les ensembles" n'existe pas. La définition d'un ensemble est précisée par des axiomatiques, la plus couramment utilisée étant l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, ou ZF.
Néanmoins, dans la suite de ce cours, nous ne vérifierons pas systématiquement que les ensembles considérés existent; les lecteurs interessés peuvent se reporter à l'article sur l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel.
L'appartenance d'un objet à un ensemble sera aussi considérée comme une notion première.

Notations :

On appelle ensemble vide, et on note Ø, un ensemble ne contenant aucun élément. Il n'existe qu'un seul ensemble vide (Voir démonstration).
Si x est un objet quelconque, on appelle "singleton x" ou "ensemble réduit à x", et on note {x}, l'ensemble ne contenant qu'un seul objet, qui est égal à x.
Par extension, on peut définir un ensemble fini en énumérant ses éléments: {a, b, ..., z}
Si P(x) est un prédicat, on note {x;P(x)}, ou {x/P(x)}, ou {x,P(x)}, l'ensemble des éléments x tels que l'assertion P(x) soit vraie. Attention: tous les prédicats ne peuvent pas définir un ensemble (ouvrir le cours sur l'axiomatique ZF).

Définitions :

Soit E un ensemble; on appelle élément de E tout objet appartenant à E, et on note xE.
Dans la suite, on utilisera souvent la notion de famille d'objets; on appelle famille (E_i)iI, avec iI , E_iE, l'application IE,iE_i. Une famille est appelée suite dans le cas particulier où I est l'ensemble N des entiers naturels, éventuellement privé d'un nombre fini d'éléments.

- Parties d'un ensemble :

Définition :

On dit qu'un ensemble E est une partie d'un ensemble F, ou que E est un sous-ensemble de F, ou que E est inclus dans F, ou que F est un sur-ensemble de E, et on note EF, si tout élément de E est aussi élément de F.

Remarque :

Soit E un ensemble. Alors E et Ø sont des parties de E.

Définition et notation :

Soit E un ensemble; on note P(E) l'ensemble des parties de E.

Définition :

Soit E un ensemble. On appelle partie propre de E toute partie de E distincte de E et de Ø

- Réunion, intersection, différence, différence symétrique :

Définitions :

Soient E et F deux ensembles.

On appelle réunion de E et F, et on note EF, l'ensemble formé par les éléments de E et les éléments de F. NB: un même objet peut être élément de E et de F; il ne figure alors qu'une seule fois dans EF.
On appelle intersection de E et F, et on note EF, l'ensemble des objets appartenant à la fois à E et à F.
On appelle différence de E et F, et on note E\F, l'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à F.
On appelle différence symétrique de E et F, et on note EF, la réunion de E\F et F\E.
Si E est une partie de F, on appelle complémentaire de E dans F, et on note E^c, ou ^cE, ou C_FE, l'ensemble F\E.

Exemple :

Posons E={1;2} et F={2;3}. On a alors:

EF={1;2;3}
EF={2}
E\F={1}
F\E={3}
EF={1;3}

Remarques :

Les définitions de la réunion, de l'intersection et de la différence symétrique sont symétriques en E et F.
Les définitions de la réunion et de l'intersection se généralisent à une famille quelconque d'ensembles (E_i)iI:
E_i={x ; iI , xE_i}
E_i={x ; iI , xE_i}

Règles de calcul :

Soient E, F, G des ensembles quelconques.
On a les propriétés suivantes :

(EG et FG)(EF)G
(GE et GF)G(EF)
EFG\FG\E
EFE\GF\G
E=(EF)E\F

Ensembles et applications

I. Définitions II. Cardinal d'un ensemble III. Lois de composition IV. Relations binaires V. Décomposition canonique d'un application

Introduction :

I. Définitions

II. Cardinal d'un ensemble

III. Lois de composition

IV. Relations Binaires

V. Décomposition canonique d'un application

I. Définitions
II. Cardinal d'un ensemble
III. Lois de composition
IV. Relations binaires
V. Décomposition canonique d'un application