Cet article comporte toutes les démonstrations aux résultats internes à l'article d'arithmétique sur les nombres particuliers.

Proposition I.1

- Enoncé

Soit a un entier naturel.

Soit n un entier strictement supérieur à 1.

a_n - 1 premier ( a = 2 et n est premier )

- Démonstration

Soit a un entier naturel.

Soit n un entier strictement supérieur à 1.

On a an - 1 premier.

Nous allons tout d'abord montrer qu'il vient alors forcément a = 2, puis nous démontrerons que si 2n - 1 est premier, alors n est premier.

On voit tout d'abord que a 0 et a 1 car -1 et 0 ne sont pas premiers.

Comme a 1, en appliquant la formule sur la somme partielle d'une série géométrique, il vient :

an - 1 = (a - 1).(a0 + a1 + a2 + ... + an-1)

Comme an - 1 est premier par hypothèse, l'un des deux facteurs vaut 1 ou -1.

Examinons chaque possibilité :

(a0 + a1 + a2 + ... + an-1) = -1 a < 0, ce qui est absurde.

(a0 + a1+ a2 + ... + an-1) = 1 a = 0, ce qui est absurde.

(a - 1) = -1 a = 0, ce qui est absurde.

(a - 1) = 1 a = 2.

Il vient donc, comme unique solution, a = 2.

On a donc 2n - 1 qui est premier; montrons qu'alors n est premier.

Supposons que n soit un nombre composé; il vient alors

(k,h) (N-{1})² / n = k.h

On peut, ici encore, appliquer la formule sur la somme partielle d'une série géométrique :

2n - 1 = (2k)h - 1 = (2k - 1).((2k)0 + 2k + ... + (2k)h-1 )

Comme 2n - 1 est premier, l'un des deux facteurs vaut 1 ou -1.

Le cas -1 étant éliminé car les deux facteurs sont positifs, il reste

Soit (2k - 1) = 1 et alors k = 1, ce qui est absurde par hypothèse.

Soit ((2k)0 + 2k + ... + (2k)h-1 ) = 1 et alors h = 1, ce qui est aussi absurde.

On aboutit à une absurdité dans tous les cas, donc le nombre n ne peut être composé.

D'où

n est premier.

Ouvrir le cours sur la divisibilité.

Ouvrir le cours sur les séries.

Proposition I.2

- Enoncé

Soit p un nombre premier.

Les diviseurs de Mp sont de la forme 2.k.p + 1, avec k N.

- Démonstration

Proposition I.3

- Enoncé

Soit p un nombre premier.

Si p est de la forme 4.k + 3 ( avec k N* ) et si 2.p + 1 est premier,

alors Mp n'est pas premier.

- Démonstration

Test de Lucas

- Enoncé

Soit la suite définie comme suit :

Y0 = 2

n N, Yn+1 = 2.(Yn)² - 1

Pour n 3, on a alors :

2n - 1 est premier (2n - 1) | Yn-2

- Démonstration

Aucune idée.

Proposition II.1

- Enoncé

Soit n un entier naturel non nul.

Si 2n + 1 est premier alors n est une puissance de 2.

C'est donc un nombre de Fermat.

- Démonstration

Proposition II.2

- Enoncé

Soient n et m deux entiers naturels différents.

Fn et Fm sont premiers entre eux.

- Démonstration

Proposition II.3

- Enoncé

Soit n et q deux entiers naturels.

Si q est un diviseur premier de Fn, alors q est de la forme 2n+1.k + 1.

- Démonstration

Proposition II.4

- Enoncé

Soit n un entier naturel non nul.

Fn est premier

- Démonstration

Proposition V.1

- Enoncé

Soit a un entier naturel.

Si a s'écrit sous la forme 2n.(2n+1 - 1) et si 2n+1 - 1 est premier,

alors a est parfait.

- Démonstration

Proposition V.2

- Enoncé

Soit a un nombre parfait.

Si a est pair, alors a est de la forme 2n.(2n+1 - 1) avec 2n+1 - 1 premier.

- Démonstration

Proposition V.3

- Enoncé

Toute puissance de 2 est un nombre presque parfait

- Démonstration