Exercice d'arithmétique

-Enoncé

Soit n un entier naturel.

Montrer que 30 | n⁵ - n

-Résolution

• Décomposons 30 en produit de facteurs premiers; il vient 30 = 5.3.2

  Comme chaque nombre premier intervenant dans la décomposition de 30 a une valuation de 1, il suffit de montrer que chaque nombre premier divise n⁵ - n, pour que leur produit qui est alors 30, le divise.

• Montrons que 2 | n⁵ - n

  On a n⁵ - n = n.(n⁴ - 1)

  Si n est pair, on a 2 | n, donc 2 | n.(n⁴ - 1) d'où 2 | n⁵ - n.

  Sinon, n est impair et alors n⁴ aussi donc n⁴ - 1 est pair.

  Il vient donc 2 | n⁴ - 1, soit 2 | n⁵ - n.
  

  Finalement, dans tous les cas 2 | n⁵ - n
  

• Montrons que 3 | n⁵ - n

  On a n⁵ - n = n.(n⁴ - 1) = n.(n² - 1).(n² + 1) = (n³ - n).(n² + 1)

  3 étant un nombre premier, alors, d'après le petit théorème de Fermat

  n N, n³ n [3]

  Soit 3 | n³ - n et alors 3 | n⁵ - n

  - Remarque :

  On pouvait s'en sortir sans employer le petit théorème de Fermat, en considérant simplement les classes modulo 3 de n, et s'apercevoir que 3 divisait alors obligatoirement n ou n² - 1 (donc n³ - n ).

  En effet :

  Soit n 0 [3] donc 3 | n.
  Soit n 1 [3] donc n² 1 [3] et 3 | n² - 1
  Soit n 2 [3] donc n² 1 [3] et 3 | n² - 1
  

• Montrons que 5 | n⁵ - n

  5 étant un nombre premier, alors, d'après le petit théorème de Fermat,

  n N, n⁵ n [5]

  D'où 5 | n⁵ - n

  (Cette fois-ci, l'étude des différentes classes modulo 5 devient plus fastidieuse...)

• Finalement, comme 2, 3 et 5 sont premiers deux à deux, leur produit divise n⁵ - n

  D'où 30 | n⁵ - n