L'indicateur d’Euler

L’indicateur d’Euler
I. Généralités et définitions
II. Propriétés

Cet article a pour but de présenter l’indicateur d’Euler et ses principales propriétés, en raison de son emploi fréquent en arithmétique. Il s’appuie notamment sur le cours d’arithmétique et l’étude de Z/nZ.

I. Généralités et définitions

Définition :
On appelle indicateur d’Euler la fonction, noté f , de N^* dans N, tel que f(n) soit le nombre de générateurs du groupe cyclique Z/nZ.
Remarque :
D’après l’article sur Z/nZ, les générateurs de (Z/nZ, +) sont aussi les classes des éléments premiers avec n et les inversibles de (Z/nZ, x), donc les éléments de (Z/nZ)^*.

II. Propriétés

Proposition II.1 : Calcul de f(n)

f(1) = 1.
Si p est un nombre premier alors f(p) = p-1.
Si p est un nombre premier et a un entier naturel, alors f(p^a) = p^a-1.(p-1).
Soit n et m deux entiers naturels premiers entre eux. Il vient f(m.n) = f(m).f(n).

Voir démonstration
Remarque :
f est une fonction multiplicative.

Il découle naturellement de cette proposition la décomposition d’un entier naturel quelconque.
Soit n un entier naturel.
Il se décompose en produit de facteurs premiers :

On en déduit donc :

Ces propriétés permettent aussi de redémontrer le " petit théorème de Fermat ".
En effet, soit p un nombre premier.
Si p ne divise pas a, alors a est premier avec p, donc il appartient à (Z/pZ)^*.
Or, on a vu que f(p) = Card ((Z/pZ)^*).
Donc a^f(p) 1 [p].
Comme f(p) = p-1, il vient :
Si p ne divise pas a, a^p-1 1 [p]
Proposition II.2
Soit n un entier naturel.
Alors, il vient :

Voir démonstration

Mais ce résultat est en fait caractéristique de l’indicateur d’Euler, comme le montre la proposition suivante.
Proposition II.3
Soit c, une fonction de N^* dans N.
Si, pour tout entier naturel n non nul, on a , alors f = c.

Voir démonstration

Auteur : P. Audoux
Date de création : 23/09/98
Relecture : None
Sources : Bertin & Christol, Paris VI