Divisibilité

L'objectif de ce cours est de présenter les notions élémentaires d'arithmétique. Les notions présentées sont basées sur celles de l'ancien programme de Mathématiques Supérieures. Cet article ne contient que les résultats classiques et paraîtront donc évidents pour quelqu'un ayant déjà fait un peu d'arithmétique; néanmoins il est nécessaire de bien maîtriser les résultats ainsi que leurs démonstrations. La plupart d'entre elles ont d'ailleurs été mises dans des fichiers à part en raison de leur généralité et, souvent, pour vous forcer à les rechercher (à part celles du chapitre V, elles sont en général assez faciles). Le chapitre IV est particulier : il généralise les notions de PGCD et PPCM aux n-uplets, ce qui n'est pas forcément utile aux débutants qui peuvent le passer provisoirement; cette généralisation est assez intuitive et ne pose pas de gros problèmes, mais il vaut mieux bien maîtriser les notions précédentes avant.

I. Définition

- Divisibilité :

• Soient a et b deux entiers relatifs.

  On dit que a divise b ssi il existe un entier relatif c tel que le produit de a par c soit égal à b. Cette relation est usuellement notée a|b.

  On a donc :

  (a, b) Z² ( a|b c Z / a.c = b )

• Définition :

  Si a|b on dira que a est un diviseur de b et que b est un multiple de a.

- Propriétés élémentaires :

• La plupart des propriétés énoncées découlent de la notion de sous-groupe de Z.

  0 est multiple de tout nombre ( car n Z, n.0 = 0 )

  1 est diviseur de tout nombre ( car, comme Z est un anneau, n Z, n = n.1 )

  -1 est diviseur de tout nombre ( car (-1).(-1) = 1 donc n Z, (-1).(-n) = n )

  De manière plus générale tout nombre inversible divise tout nombre... mais dans Z il n'y a que 1 et -1 (Voir démonstration).

• Proposition I.1

  (a, b) Z² ( a|b b aZ )

  Cela peut aussi s'interpréter sous la forme :

  b 0 [a] 0 mod(a)

  ( C'est-à-dire “ b est congru à 0 modulo a ” )

  Voir démonstration

  Ouvrir le cours sur les congruences

• Proposition I.2

  (a, b) Z² ( a|b bZ aZ )

  Voir démonstration

• Proposition I.3

  (a, b) Z² ( a|b m Z a| b.m )

  Voir démonstration

  Remarque :

  - La réciproque est également vraie (il suffit de prendre m = 1) mais elle ne présente aucun intérêt.

• Proposition I.4

  (a, b, c) Z³ ( a|b et a|c a|(b + c) )

  Voir démonstration

  Remarque :

  - La réciproque est fausse en général mais intéressante à étudier

  Voir démonstration

- Etude de la relation de divisibilité :

La relation de divisibilité est une relation binaire.

Elle est réflexive et transitive.

Voir démonstration

Etude de la symétrie et de l'antisymétrie

Si a|b et b|a alors il existe c et d, deux entiers relatifs tels que

a.c = b et b.d = a.

On a alors (a.c).d = a.(c.d) = a

donc c.d = 1 ou encore, puisque c et d appartiennent à Z (Voir démonstration):

c = d = 1 ou c = d = -1

Si l'on se restreint à l'étude sur N, la relation de divisibilité devient antisymétrique, sinon il faut tenir compte du signe. Ceci explique pourquoi les propositions relatives à l'ordre ou à l'unicité d'un résultat ne seront souvent vraies "qu'au signe près".

II. P.G.C.D.

- Définition :

• Soient a et b deux entiers relatifs.

  On appelle H l'idéal engendré par a et b. Il apparaît alors que

  aZ H et bZ H

  Donc :

  (u, v) Z², a.u + b.v H

  Notons aZ + bZ l'ensemble {a.u + b.v ; (u,v) Z²}

  On a alors :

  aZ + bZ est inclus dans H

  aZ + bZ est un idéal, contenant a et b Voir démonstration

  H étant par définition le plus petit idéal contenant a et b, il est inclus dans aZ + bZ.

  Soit :

  (( H aZ + bZ) et ( aZ + bZ H )) (H = aZ + bZ)

  L'idéal engendré par a et b est donc aZ + bZ.

  Z étant principal, il existe d appartenant à Z tel que aZ + bZ = dZ

  Définition :

  (a, b) Z², on appelle PGCD de (a, b) tout entier relatif d tel que aZ + bZ = dZ

- Propriétés :

Comme aZ dZ et bZ dZ alors d|a et d|b
• Proposition II.1

  Un PGCD d'un couple d'entiers relatifs est unique au signe près.

  On notera PGCD(a,b) celui qui est positif.

  Voir démonstration

• Identité de Bezout

  Soient a et b deux entiers relatifs et d = PGCD(a,b).

  Il existe alors u et v deux entiers relatifs tels que a.u + b.v = d.

  Voir démonstration

  Remarques :

  - Il n'y a pas unicité du couple (u, v).
  Contre-exemple :

  Si on considère le couple (2,4) on a PGCD(2,4) = 2 et pourtant :

  2 = 2.1 + 4.0 = 2.3 - 4.1

  - Il n'y a pas équivalence entre a.u + b.v = d et d = PGCD(a,b)

  ( Sinon on pourrait prendre n'importe quel couple (u,v) )

  Cette dernière remarque peut sembler évidente maintenant mais il pourra y avoir des confusions lorsque nous aurons vu le théorème de Bezout.

• Proposition II.2

  Soient a,b et v trois entiers relatifs.

  Alors PGCD(v.a, v.b) = |v|.PGCD(a,b)

  Voir démonstration

  Remarque :

  - Avec une démonstration similaire mais plus simple, on peut aussi démontrer que

  PGCD(a, b) = PGCD(|a|, |b|)

  Voir démonstration

- Caractérisation :

• Soient a et b deux entiers relatifs.
  Posons d = PGCD(a,b)

  D'après la proposition I.2 on a alors d|a et d|b.
  Le PGCD est donc un diviseur commun à a et à b.
  Soit d un diviseur commun à a et à b.
  Il existe donc x et y deux entiers relatifs tels que :

  a = d.x
  b = d.y

  D'après l'identité de Bezout il existe u et v deux entiers relatifs tels que

  d = a.u + b.v

  Donc :

  d = (d.x).u + (d.y).v
  d = d.(x.u + y.v)

  D'où d|d.

  Le PGCD est donc le "plus grand commun diviseur" au sens de la relation de divisibilité considérée comme relation d'ordre (Il ne faut donc travailler qu'avec des diviseurs positifs ou plutôt se rappeler qu'il est le plus grand “ au signe près ”).

- Recherche du PGCD / Algorithme d'Euclide :

• PGCD particuliers

  - PGCD(0,0) = 0

  En effet 0Z = {0}, donc 0Z + 0Z = {0} + {0} = {0} = 0Z

  - Soit a un entier relatif non nul.

  PGCD(0,a) = a

  En effet 0Z = {0}, donc 0Z + aZ = {0} + aZ = aZ

  - Soit a un entier relatif.

  PGCD(1,a) = 1

  En effet aZ Z = 1Z, donc aZ + 1Z = Z

• Proposition II.3

  Soient a et b deux entiers relatifs.

  (a, b) (0, 0) PGCD(a, b) 0

  Voir démonstration

  La suite de ce paragraphe a une grande importance pratique : elle permet de calculer explicitement le PGCD de deux entiers relatifs dont l'existence découle des paragraphes précédents. Il est donc nécessaire de traiter des exemples de son application.

• Lemme d'Euclide :

  Soient a et b deux entiers relatifs.

  S'il existe q et r deux entiers relatifs tels que a = b.q + r alors :

  PGCD(a,b) = PGCD(b,r)

  Voir démonstration

• Algorithme d'Euclide

  Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.

  Effectuons la division euclidienne de a par b :

  (q₁,r₁) Z² tels que

  ( 0 r₁ < b ) et ( a = b.q₁ + r₁ )

  D'après le lemme d'Euclide, PGCD(a,b) = PGCD (b,r1)

  Si r ₁ = 0 alors PGCD(b, r₁) = b = PGCD(a, b)

  Sinon, on réitère le processus sur (b,r₁), puis (r₁,r₂), (r₂,r₃) ... jusqu'à ce que le reste de la division euclidienne soit nul, ce qui se produit forcément, puisque chaque reste est un entier naturel strictement inférieur au précédent (on a au plus |b| étapes). Le PGCD de (a, b) est alors le dernier reste non nul (car PGCD(a, b) = PGCD(r_n, 0) = r_n).

  Voir programmes sur l'algorithme d'Euclide

• Algorithme d'Euclide appliqué à l'identité de Bezout

  Soient a et b deux entiers relatifs.
  Posons d = PGCD(a, b).

  L'identité de Bezout nous a assurée de l'existence de deux autres entiers relatifs u et v tels que a.u + b.v = d mais nous n'avons aucun moyen pratique de les calculer; nous allons voir que l'algorithme d'Euclide va nous permettre de les trouver. Il y a donc une double utilité à cet algorithme : la recherche du PGCD et son expression en fonction de a et b.
  Supposons avoir appliqué l'algorithme à (a, b); on a donc les n+1 étapes suivantes :

  a = b.q₁ + r₁
  b = r₁ .q₂ + r₂
  ...
  r_n-2 = r_n-1.q_n + r_n
  r_n-1 = r_n.q_n+1 + 0

  En notant a= r_-1 et b = r₀, on voit que chaque reste d'ordre k (avec k 1) peut s'exprimer comme une combinaison linéaire de r_k-1 et r_k-2

  ( C'est-à-dire r_k = l.r_k-1 + m.r_k-2 avec (l, m) Z² )

  Ainsi r_n est une combinaison linéaire de r_n-1 et de r_n-2 et, comme r_n-1 est une combinaison linéaire de r_n-2 et r_n-3 , on peut exprimer à son tour r_n comme une combinaison linéaire de r_n-2 et r_n-3. En procédant ainsi avec les restes successifs, on trouve explicitement r_n comme combinaison linéaire de r_-1 et r₀ , les coefficients étant des sommes et produits des quotients successifs.
  On a ainsi :

  r_n = r_n-2 - q_n.r_n-1

  r_n-1 = r_n-3 - q_n-1.r_n-2

  donc : r_n = r_n-2 - q_n.(r_n-3-q_n-1.r_n-2)

  soit : r_n = (1 + q_n.q_n-1).r_n-2 - q_n.r_n-3

  Et on réitère le processus jusqu'à trouver r_n comme combinaison linéaire de r_-1 et de r₀, c'est-à-dire d = u.a + v.b

  Remarques :

  - Si les valeurs des quotients n'ont aucun rôle lorsqu'on utilise l'algorithme pour trouver le PGCD, elles sont indispensables pour calculer u et v et il faut donc les conserver.

  - Il est absolument nécessaire de pratiquer cette méthode si on veut savoir l'appliquer facilement (Voir exemples).

- Eléments premiers entre eux :

• Définition

  Soient a et b deux entiers relatifs.

  On dit que a et b sont premiers entre eux ssi PGCD(a,b) = 1
  
  Si (a, b) (0, 0), alors sont premiers entre eux.

  Voir démonstration

• Nombre premier

  Soit p un entier naturel.

  On dit que p est premier s'il admet exactement quatre diviseurs.

  Nous allons étudier quelques propriétés élémentaires des nombres premiers et en particulier déterminer des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un entier soit premier. Elles correspondent en fait aux différentes définitions qui sont parfois données dans la littérature mathématique.

• Condition Nécessaire et Suffisante 1 (C.N.S. 1)

  p est premier ssi il admet exactement deux diviseurs positifs.

  Voir démonstration

  Comme les diviseurs positifs d'un entier naturel sont des entiers plus petits que lui avec la relation d'ordre usuelle sur N. Il est ainsi facile de déterminer la primarité (ou non) des premiers entiers.

  Ainsi 0 n'est pas premier, ni 1 (ses seuls diviseurs étant 1 et -1).

  2 est premier car 1 et 2 sont les seuls entiers naturels non nuls qui lui sont inférieurs et ils le divisent.

  Voir la table des nombres premiers

  Voir le crible d'Erathosthène

• Condition Nécessaire et Suffisante 2 et 2 bis (C.N.S. 2 et 2 bis)

  Soit p un entier naturel.

  p est premier ssi p n'est divisible que par 1,-1, p et -p

  ssi les seuls diviseurs positifs de p sont 1 et lui-même (soit p)

  Voir démonstration

  - Corollaire :

  Il n'y a qu'un nombre premier pair

  Voir démonstration

• Proposition II.4

  Soit p un nombre premier et m un entier relatif.

  Si m n'est pas un multiple de p, alors p et m sont premiers entre eux.

  La réciproque étant vraie (bien que moins intéressante), il vient :

  Soit p un nombre premier et m un entier relatif.

  PGCD(p,m) = 1 m pZ

  Voir démonstration

  Remarque :

  - Cette proposition permet de déterminer les inversibles dans Z/nZ

• Théorème de Bezout

  Soient a et b deux entiers relatifs.

  PGCD(a,b) = 1 (u,v) Z² / a.u + b.v = 1

  Voir démonstration

  Remarques :

  - Il ne faut surtout pas confondre l'identité et le théorème de Bezout.
  - Il a une grande importance théorique notamment parce que les deux prochains théorèmes en découlent.
  - Il sert aussi dans certains exercices, notamment couplé avec l'algorithme d'Euclide.

• Théorème de Gauss

  Soient a, b et c trois entiers relatifs.

  Si a | b.c et PGCD(a,b) = 1 alors a | c

  Voir démonstration

  Remarques :

  - Ce théorème s'énonce aussi sous la forme :
  "  Si a divise un produit de deux facteurs et s'il est premier avec l'un des facteurs, il divise l'autre "
  - Ce théorème n'a jamais signifié :
  "Si a | b.c et si a ne divise pas b alors a | c "
  ... ce qui est totalement FAUX, comme le montre le contre-exemple suivant :
  6 | 3.4 = 12 et pourtant 6 ne divise ni 3 ni 4.
  Il faut pour cela renforcer les hypothèses, ce qui est l'objet du théorème suivant.

• Théorème d'Euclide

  Soient a et b deux entiers relatifs et p un nombre premier.

  Si p divise a.b alors p divise a ou p divise b.

  Voir démonstration

  Remarques :

  - Cette proposition, appelée théorème d'Euclide, correspond à la proposition 30 du livre VII des Eléments.
  - Si ces trois théorèmes semblent découler chacun du précédent, il est toutefois nécessaire de les connaître tous. Il faut deplus remarquer que s'ils semblent n'être qu'une version "allégée" du précédent, historiquement c'est le théorème d'Euclide qui a été trouvé en premier, puis celui de Gauss et enfin celui de Bezout (se référer à l'historique au besoin).
  - Une autre formulation permettant de se rappeler de ce théorème est :
  " Si un nombre premier divise un produit, il divise un des facteurs."
  - Se théorème se généralise en effet à un produit de n facteurs : voir la remarque dans la démonstration.

  Toute cette étude menée sur les entiers relatifs possède de nombreuses applications dans Z/nZ. Nous vous conseillons donc de vous référer au cours à ce propos, notamment l'étude de l'intégrité de ces anneaux, de ses éléments inversibles et des théorèmes tels que le petit théorème de Fermat.

III. P.P.C.M.

- Définition

• Soient a et b deux entiers relatifs.

  aZ et bZ étant des idéaux, alors aZ bZ est un idéal.

  Z étant principal, il existe m, un entier relatif, tel que :

  mZ = aZ bZ

  Définition :

  (a,b) Z² on appellera PPCM de a et b tout entier relatif m tel que

  mZ = aZ bZ

- Propriétés :

• Proposition III.1

  Un PPCM d'un couple d'entiers relatifs est unique au signe près.

  Voir démonstration

  On notera PPCM(a,b), le PPCM du couple (a,b) positif.

• Proposition III.2

  Soient a, b et l des entiers relatifs.

  PPCM(l.a, l.b) = |l|.PPCM(a,b)

  Voir démonstration

  Remarque :

  - Il vient aussi PPCM(a, b) = PPCM(|a|, |b|)

  ( Voir démonstration en remarque de la proposition II.2)

- Caractérisation :

• Soient a et b deux entiers relatifs.

  Posons m = PPCM(a,b)

  On a mZ = aZ bZ donc mZ aZ et mZ bZ

  D'où, d'après la proposition I.2, a|m et b|m

  Finalement m est un multiple commun à a et à b.

  Soit m un multiple commun à a et à b.

  On a a|m et b|m soit, d'après la proposition I.2,

  mZ aZ et mZ bZ

  Donc mZ aZ bZ = mZ d'où m|m

  Tout multiple commun au couple (a,b) est donc un multiple de PPCM(a,b).

  Le PPCM(a,b) est donc le "plus petit commun multiple" de a et b, en considérant la divisibilité comme relation d'ordre (donc en se restreignant à N ou en précisant "au signe près").

  Remarque :

  - L'étude menée sur le PPCM ressemble beaucoup à celle faite sur le PPCM; nous verrons au chapitre suivant qu'on a la relation suivante :

  |a.b| = PPCM(a,b).PGCD(a,b)

  Ceci explique donc que l'on ait privilégié l'emploi de l'un par rapport à l'autre; c'est ainsi le PGCD qui est plus souvent employé (nous avons donc décidé de l'étudier avant).

IV. Généralisation des notions de PGCD et PPCM

Nous n'avons traité jusqu'à présent que le " PGCD " ou le " PPCM " d'un couple d'entiers relatifs. Nous allons voir que cette notion se généralise à un n-uplet d'entiers naturels. Le cours qui va suivre n'est donc, en quelque sorte, qu'une redite des deux paragraphes précédents; en fait, les notions de PGCD et PPCM d'un couple d'entiers relatifs est la plus usitée, notamment dans les deux premières années post-bac, où les programmes ne s'intéresse souvent qu'à elles.

Nous avons donc décidé de séparer ces deux notions. Pour ceux qui utilisent cet article comme cours pour leurs débuts en arithmétique, ce paragraphe n'est pas indispensable et ils peuvent le passer pour y revenir plus tard s'ils sont intéressés, mais nous conseillons aux autres sa lecture; d'autre part, le fait d'avoir déjà traité le cas des couples d'entiers ne peut en aucun cas être une perte de temps : l'habitude des démonstrations et des résultats ne fera qu'en faciliter la compréhension.

Dans toute la suite de ce chapitre, n sera un entier naturel strictement supérieur à 1.

Remarque : Ce chapitre n'est pas tout à fait fini...

- Définitions

Nous allons tout d'abord généraliser les définitions de PGCD et de PPCM, puis nous verrons ce que devient la notion de primalité, dans le cas n>2.

• P.G.C.D.

  Soient a₁, ..., a_n, n entiers relatifs.
  Il existe un unique entier positif d tel que a₁Z+...+a₂Z=dZ.

  Voir démonstration

  On le note d = PGCD(a₁,...,a_n).

• P.P.C.M.

  Soient a₁, ..., a_n, n entiers relatifs.
  Il existe un unique entier positif m tel que a₁Z...a_nZ = mZ

  Voir démonstration

• Extension de la notion de primalité

  Soient a₁, ..., a_n, n entiers relatifs.
  Si PGCD(a₁, ..., a_n) = 1, les (a_i) sont dit premiers dans leur ensemble
  Si, i  j, PGCD(a_i,a_j) = 1, les (a_i) sont dits premiers deux à deux.

- Propriétés générales

• Proposition :

  Soient a₁, ..., a_n, n entiers relatifs.
  Posons d = PGCD(a₁, ..., a_n).
  d est le plus grand entier divisant, pour tout i appartenant à [[1, n]], a_i.

  Voir démonstration

• Proposition :

  Soient a₁, ..., a_n,n entiers relatifs.
  Posons m = PPCM(a₁, ..., a_n).
  M est le plus petit entier multiple, pour tout i appartenant à [[1, n]], a_i.

  Voir démonstration

• Proposition :

  Soient a₁, ..., a_n, n entiers relatifs.
  Si les a₁, ..., a_n sont premiers deux à deux, alors ils sont premiers dans leur ensemble

  Voir démonstration

  Remarque :

  La réciproque est fausse.

  En effet, si on considère

- Généralisation de propriétés vues dans le cas n=2.

• Proposition :

  Soient a₁, ..., a_n n entiers relatifs.
  Soit a un entier relatif.
  Alors PGCD(a.a₁,...,a.a_n) = |a|.PGCD(a₁, ..., a_n)

  Voir démonstration

• On a de même :

  PPCM(a.a₁, ...,a.a_n) = |a|.PPCM(a₁, ..., a_n)

  Voir démonstration

• Théorème de Bezout généralisé.

  Soient a₁, ..., a_n n entiers relatifs.
  Alors, (a₁, ..., a_n) sont premiers dans leur ensemble si et seulement s'il existe u₁, .., u_n, n entiers relatifs tels que :
  a₁.u₁ + ... + a_n.u_n = 1.

  Voir démonstration

• Relation entre premiers deux à deux et premiers entre eux.

  Proposition :

  Soient a₁, ..., a_n, n entiers relatifs
  Si les (a₁, ..., a_n) sont premiers deux à deux, alors
  PPCM(a₁, ..., a_n) = |a₁.a₂. ...,a_n|

  ? ? ? Remarque :

  Soient a₁, ..., a_n, n entiers relatifs.
  On n'a plus la relation :
  PPCM(a₁, ..., a_n).PGCD(a₁, ..., a_n) = | a₁.a₂...a_n |.
  En effet,

V. Décomposition en facteurs premiers

- Théorème fondamental de l'arithmétique :

Tout entier strictement supérieur à 1 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers.

Voir démonstration

Remarques :

- La décomposition est unique “ à l'ordre près ”, car on peut évidemment intervertir l'ordre des facteurs du produit.

- Pour les entiers 0 et 1, il n'y a aucun besoin de chercher à les décomposer.

- Pour les entiers négatifs, on utilise celle de leur valeur absolue, affectée d'un signe moins.

- Bien que ce théorème semble évident, sa démonstration n'est pas aussi aisée qu'il y paraît. Deplus, il est nécessaire de l'avoir toujours en tête car il permet de démontrer la plupart des résultats de divisibilité; c'est en cela qu'il est “ fondamental ”.

Corollaire

Il découle naturellement de ce théorème le résultat (important !) suivant :

Il existe une infinité de nombre premiers.

Voir démonstration

Remarques

- Ce résultat correspond à la proposition 20 du livre IX des Eléments d'Euclide.

- Nous vous conseillons de consulter cette démonstration, car elle se présente sous forme d'un article regroupant de nombreuses démonstrations qui ont été faîtes de ce résultat depuis l'antiquité jusqu'à nos jours. La diversité des méthodes qui y sont employées est alors intéressante.

- Applications à la divisibilité :

Grâce au théorème fondamental que nous venons d'énoncer, nous allons pouvoir préciser la notion de divisibilité, notamment avec la notion de valuation.

Définition :

Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1.

Soit p un nombre premier.

On appelle valuation en p de l'entier naturel n, noté v_p(n), qui correspond à la plus haute puissance de p qui divise n ( si p ne divise pas n, v_p(n) = 0 )

Soit P l'ensemble des nombres premiers.

En utilisant le théorème fondamental de l'arithmétique, tout entier naturel n strictement supérieur à 1 peut donc s'écrire sous la forme :



L'emploi du symbole P est ici totalement justifiée car il n'y a qu'un nombre fini de facteurs différents de 1. En effet, aucun nombre premier supérieur à n ne peut le diviser et sa valuation est donc nulle, et il n'y a bien entendu qu'un nombre fini de nombres premiers inférieurs à n, qui ne divisent d'ailleurs pas tous n.

On pourra étendre cette écriture au chiffre 1, pour lequel

p P, v_p(1) = 0

Ouvrir l'article sur les nombres p-adiques

Ouvrir l'article sur les produits infinis

• Proposition V.1

  Soient a et b deux entiers naturels non nuls

  a|b p P, v_p(a) v_p(b)

  Voir démonstration

• Proposition V.2
  Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
  On a alors
  
  Comme min(x, y) + max (x, y) = x + y , il vient

  PGCD(a, b).PPCM(a, b) = a.b

  Voir démonstration

  Remarque :

  - En fait, nous ne sommes pas restreint aux entiers naturels non nuls. En effet, le cas où l'un des deux nombres est nul ne pose pas de problèmes (Voir PGCD particuliers). Le cas des entiers relatifs négatifs n'est pas gênant non plus car l'on peut se ramener au cas positif avec PGCD(a, b) = PGCD(|a|, |b|) .

  (Voir la remarque de la proposition II.2 )

  Toute la fin de ce cours s'appuie sur la notion de nombre premier, très importante en arithmétique. Ces derniers, qui, bien qu'ils soient en quantité infinie, se raréfient de plus en plus lorsqu'on s'intéresse à des nombres de plus en plus grands, ont une importance théorique et pratique fondamentale. Il est en effet très difficile de déterminer si un grand nombre est premier ou non et il n'existe pas d'algorithme permettant de donner facilement un nombre premier très grand; ils servent alors dans les codages de textes (voir cryptographie).

  Si ce sujet vous intéresse vous pouvez vous référer à notre article sur eux.

  Ouvrir article sur les nombres premiers